第三章 一元函数微分学
§3.1 基本概念与主要结果
例1 设f(x)定义在?0,???上且在x?1处可导, 对任意x,y?0有f?xy??yf?x??xf?y?, 证明 f(x)在?0,???上处处可导, 并求f'(x)与f(x). 证明 令x?y?1，得f(1)=2f(1),f(1)=0, 当x?0时有
f?x?h??f?x?h???h??f?x?1????f?x.1?x????h?h?h????1??f?x??xf?1???f?x??xf?1?x?x???h?f?x?x?h??f?1???f?1?f?x?h??f?x?f?x?x?'?,于是f'(x)?lim??f?1?. x?0hxhxdydxyxyxdydxdudx下面解微分方程式化简得
???f'?1? （1）.令u?，即y?ux，有
?x?u，代入（1）
dudxf'?1?x，即u?f'?1?xlnx?Cx.令x?1,得C?0,故
f?x??f'?1?xlnx,f'?x??f'?1?(1?lnx).
例2 设f(x)在?a,b?上可导, f?a??f?b??0, 导数f'(a)与f'(b)存在且f'(a).f'(b)?0. 证明 存在c??a,b?使得f?c??0.
证明 不妨设f'(a)?0 ,f'(b)?0,由于limx?af?x??f?a??x?a?f'(a)?0,存在?1?0,当
x1??a,a??1?时，
f?x1??f?a?x1?a?0由x1?a?0得f?x1??f?a??0.
又由limx?bf?x??f?b??x?b?f'(b)?0,存在?2?0,当x2??b??2,b?时,
f?x2??f?b?x2?b?0,从而
f?x2??f?b??0.取充分小?1, ?2使得a??1?b? ?2. 从而有x1?x2,在[x1,x2]上利用连
续函数的介值性定理存在c??x1,x2???a,b?使得f?c??0.
?f'?0?,例3设f(x)在(??,??)上二阶导数连续，且f(0)?0，定义函数g(x)???f?x?,??xx?0x?0,
证明 g(x)在(??,??)上有一阶连续的导函数.
证明 显然当x?0时, g(x)是连续的,又 limg?x??limx?0f?x?xx?0?limf?x??f?0?x?0x?0?f'?0??g?0?,故g(x)在(??,??)上连续.
由导数的定义,
f?x? g'?0??limg?x??g?0?x?0x?0?limx?f'?0?x?limx?0f?x??xf'?0?x2x?0?limf'?x??f'?0?2xx?0?f''?0?2.
1
因此g(x)在x?0处可导,从而g(x)在(??,??)上处处可导. 当x?0时, g'?x??,由于limg'?x??limx?0xf'?x??f?x?x2,
?limxf''?x?2x?limf''?x?2?f''?0?2xf'?x??f?x?x2x?0x?0x?0?g'?0?.
因此g'(x)在x?0处连续, 从而g'(x)在(??,??)上处处连续.
例4 设f(x)在?a,b?上可导，证明f'(x)具有介值性即?x1,x2??a,b?（不妨设x1?x2）及介 于f'(x1)与f'(x2)之间的任意值?，存在???x1,x2?使得f'(?)??.
证明 不妨设f'(x1)???f'?x2?，令F?x??f(x)??x.则F(x)在?a,b?上连续且F'?x??f'(x)??.由连续函数的最值定理,F(x)在?a,b?上有最小值, 设最小值点为?.由于
F'?x1??f'(x1)???0,故存在x?[x1,x2]使
F?x??F?x1?x?x1?0,从而F?x1??F?x??F???,即
x1??,类似可证x2??.由Fermat定理(极值的必要条件), F'(?)?0,即f'(?)??.
注 此结论称为达布定理, 也称为导数的介值性定理.
推论 若f(x)在?a,b?内处处可导, 则f'(x)不能有第一类间断点,即具有第一类间断点的函数不存在原函数.
证明 因f(x)在?a,b?内处处可导, 所以对任意x0??a,b?,当x?x0时, f(x)在[x0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在???x0,x?, 使得
f?x??f?x0?x?x0?f'???.又x0???x,
故x?x0?时有??x0?,于是有f'?x0??f?'?x0??limf?x??f?x0??x?xmx?x0?lim?f'????f'?x0?0?,
??x0这说明f'(x)在x0处有右极限时必有f'?x0??limf'????f'?x0?0?,同理可证若f'(x)在x0??x0?处有左极限时有f'?x0??limf'????f'?x0?0?.所以在?a,b?内任意一点x0处除非至少有一
??x0?侧f'(x)无极限（这时x0为f'(x)的第二类间断点），否则f'(x)在此处连续即.
f'?x0?0??f'?x0??f'?x0?0?.
例5 设f(x)在?a,b?内可导且f'?a?0??limf'?x?存在.
x?a?证明 (1) f?a?0??limf?x?存在；
x?a?(2) 若补充定义f?a??limf?x?,则右导数f?'?a?存在且f?'?a??f'?a?0?.
x?a?证明 (1) 设f'?a?0??limf'?x??l, 由极限的局部有界性, 存在?1?0,当x??a,a??1?x?a? 2
??时，f'?x??l?1,由此得f'?x??1?l.???0, ???min???1,????,当x1,x2??a,a???1?l???时,由拉格朗日中值定理, f?x1??f?x2??f'???x1?x2??1?l????其中?介于x1,x2之间.由柯西收敛准则, f?a?0??limf?x?存在.
x?a?(2) 补充定义f?a??limf?x?,当x??a,b?时,由拉格朗日中值定理,
x?a???f?x??f?a??f'????x?a?,其中?介于a,x之间,当x?a时有??a且
f??a??lim?'x?af?x??f?a?x?a?lim?f'????f'?a?0?.
??a推论 若f(x)在?a,b?内可导且f'?a?0?,f?'?a?都存在, 则f?'?a??f'?a?0?.
例6 设f(x)在?a,b?上连续, f?a??f?b?,且在?a,b?内有连续的右导数
f?'(x)?lim?x?0f?x?h??f?x?h?a?x?b?，试证存在???a,b?使f?????0.
'证明 （1）若f(x)?常数,则f?'(x)?0,结论显然.
(2)若f(x)不恒为常数,则只需证??,???a,b?分别有f?'????0，f?'????0则由
f?'(x)的连续性，便知结论成立.事实上,由f(x)在?a,b?上连续,故在?a,b?上必有最大最小
值,而f?a??f?b?,因此最值至少有一个在内部达到.设???a,b?为f(x)的最大值点（内部为最小值点类似讨论）,于是f?'????limx??f?x??f????x???0.任取一点c??a,??,因f(x)在?c,??上连续,f(x)在?c,??上必有一点???达到了最小值,于是f?'????limf?x??f????0,故
x???x??我们的目的达到了.
3
§3.2 微分中值定理及其应用
例1 设f(x) 在?a,b?上可导,f?a??f?b??0, 导数f'(a)与f'(b)存在且f'(a).f'(b)?0. 证明方程f'?x??0在?a,b?内至少有两个根.
证明 由§3.1中例2的结论知存在c??a,b?使得f?c??0.在?a,c?,?c,b?上分别使用罗尔定理，??1??a,c?与?2??c,b?使得f'??1??f'??2??0,从而结论得证.
例2 设f(x) 在?a,b?上非负且三阶可导, 方程f?x??0在?a,b?内有两个不同的实根 证明存在???a,b?使得f'''????0.
证明 设函数f(x) 在?a,b?内两个不同的实根为x1?x2且f?x1??f?x2??0.由罗尔定理, ?c??x1,x2?使得f'?c??0 (1).又f?x??0,从而x1,x2为f(x)的极小值点,由Fermat定理,
f'?x1??f'?x2??0 (2).对f'(x)在?x1,c?,?c,x2?上用罗尔定理,则?x3??x1,c?,?x4??c,x2?使得f''?x3??f''?x4??0.再对f''(x)在?x3,x4?上用罗尔定理,存在???x3,x4???a,b?使
f'''????0.
例3 设f(x)在?a,b?上二阶可导, 过点A?a,f?a??与点B?b,f?b??的直线与曲线y?f?x?于 点C?c,f?c??，其中a?c?b.
证明存在???a,b?,使得f''????0.
证明 由条件对f(x)在?a,c?,?c,b?上分别使用拉格朗日中值定理，??1??a,c?与?2??c,b?使得f'??1??f?a??f?c?a?c?kAC,f'??2??f?c??f?b?c?b?kCB,由于A,B,C三点共线,故对f'(x)在?a,b?上应用罗尔定理, 存在一点????1,?2???a,b?,使f''????0.
例4 设f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,f?a??f?b??0. 试证对任意的?????,???,存在???a,b?,使得f'?????f???.
注 由f'?????f???,可得f'?????f????0，即?为f'?x???f?x??0的零点.又
?f?x?e?'???xf'?x?e??x??f?x?e??x,令F?x??f?x?e??x,检验罗尔定理的条件,这是显然的.
f?a??f???g????g?b?f'???g'???
例5 若f(x), g(x) 在?a,b?上可导且g'(x)?0,则存在???a,b?,使得
?.
证明 构造函数F?x??f?x?g?x??f?a?g?x??g?b?f?x?,检验罗尔定理的条件,这是显然的.
例6 设f(x), g(x) 在?a,b?上可导,且?x1,x2??a,b?,x1?x2,有f?x1??f?x2??0. 证明存在???a,b?,使f'????f???g'????0.
证明 构造函数F?x??f?x?eg?x?,检验罗尔定理的条件,这是显然的.
例7 设f(x)在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,f?0??0,且对任意x??0,1?都有f?x??0。 证明对任意自然数n,存在???0,1?,使得
nf'???f????f'?1???f?1???.
证明 方法1 构造函数F?x??fn?x?f?1?x?,显然F(x)在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,且
4
F'?x??nfn?1?x?f'?x?f?1?x??fn?x?f'?1?x?.
又f?0??0,知F?0??fn?0?f?1??0,F?1??fn?1?f?0??0.由罗尔定理,存在???0,1?,使得
F'????0,即nfn?1???f'???f?1????f?n???f'?1????0.因为
f'?1???f?1???f????0,所以
nf'???f?1????f???f'?1???.因此
nf'???f???.
方法2 由于当x??0,1?时,f?x??0.故f(x)在?0,1?内不变号.不妨设f(x)在?0,1?内恒正.令F?x??nlnf?x??lnf?1?x?.显然limF?x??limF?x????,故存在0?a?x?0?12x?1??b?1,使得
?1?F?a?,F?b??F??.由最值定理,存在???a,b?,使得F????maxF?x?.所以由Fermat定理,
a?x?b?2?nf'???f'?1???f'???f'?1???,即得. 0?F'????n??f???f?1???f???f?1???
注 设?a,b?为有限或无穷区间,f(x)在?a,b?内可微,且limf?x??limf?x??A(有限或
x?a?x?b?). 则存在???a,b?使得f'????0.
证明 (1)若f?x??A(有限数),则对任意x??a,b?,f'?x??0.
??(2) 若存在x0??a,b?使f?x0??A.不妨设f?x0??A(f?x0??A可类似证明).因，存在lim?f?x??lim?f?x??A,由f(x)在?a,b?内连续,对任意取定的数?（A???f?x0?）
x?bx?ax1??a,x0?,x2??x0,b?,使f(x1)???f?x2?.由罗尔定理,存在???x1,x2???a,b?使得f'????0.若f?x??A???(或??),则?a,b?内任取一点x0上面推理保持有效.
例8 设f(x)在?a,b??a?0?上连续,在?a,b?内可导. 证明存在???a,b?,使得f?b??f?a???f'???ln证明 令
f?b??f?a?lnb?lnaba.
?k,则f?b??klnb?f?a??klna.构造函数F?x??f?x??klnx,由条
件易知F(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导且F?a??F?b?.由罗尔定理,存在???a,b?,使得
F'????0,即?f'????k，故f?b??f?a???f'???lnba.
练习 设f(x)在?a,b??a?0?上连续,在?a,b?内可导. 证明存在???a,b?,使得
bf?b??af?a?b?a?f?????f'???.
提示 方法一 构造函数F?x??xf?x?,利用拉格朗日中值定理. 方法二 构造函数F?x??xf?x??kx,利用罗尔定理.
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