M?f?x1??f?0??f'????x1?0??f'????x1?Af'????x1?12f'????12M.所以M?0.
从而f(x)?0(x??0,1?).利用数学归纳法可证在一切?i?1,i?(i?1,2,?)上恒有
?2A??2A2A?????f(x)?0,故在?0,???上f(x)?0.
最后介绍微分学基本定理的一个初等证法.
例19微分学基本定理 设f(x)在?a,b?上可导,且对任意x??a,b?,f'?x??0,则f(x)在 ?a,b?上必为常值函数.
证明 设f(x)不是常值函数,则存在x,y??a,b?使得f(x)?f?y?.不妨设x?y且
f(x)?f?y?.令c?f?z??f?x?z?xf?y??f?x?y?x,则c?0.取z?x?y22,若f?z??,则
f?x??f?y?2,则
?c.此时取?x1,y1???x,z?.若f?z??f?x??f?y?f?y??f?z?y?z?c,此时取
?x1,y1???z,y?.仿照上述程序,得闭区间套??xn,yn??n,
(n?1,2,?),使得对每一
f?yn??f?xn?yn?xn?c.由区间套定理,存在?n??xn,yn?(n?1,2,?).则由导数定义易证
f'????limf?yn??f?xn?yn?xnn???c?0.这与f'????0矛盾,证毕.
11
§3.3 导数的各种应用
导数的应用内容包括:函数单调性,不等式,函数的凸性,极值,最值等等.在具体例题中内容更加广泛.这些应用都是建立在中值定理的基础之上的. 例1设a1,a2,?,an满足a1?a23?????1?n?1an2n?1?0,证明方程
???a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x?0在开区间?0,?内至少有一个实根.
?2???分析 若令f?x??a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x,由于不易判断f?0?与f???的符
?2?号,所以不能利用连续函数介值性定理. 证明 设f?x??a1sinx?13a2sin3x???12n?1ansin?2n?1?x,
??则f'?x??a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x.显然f?0??f????0.由罗尔定理知,存
?2???在????0,?使得f'????0,本题得证.
?2?
例2 设f(x)在?a,???上连续,当x?a时, f'(x)?k?0,其中k为常数. 证明:如果f(a)?0,则方程f(x)?0在闭区间?a,a???f?a??上有且仅有一个实根. ?k?f?x??f?a?x?a?k这由中值定理就可以得
分析 只要证当x?a时, f(x)?f?a??k?x?a?,即到.
证明 当x?a时，由拉格朗日中值定理，
f?x??f?a?x?a?f'????k(a???x),所以
f?a??f?a??f(x)?f?a??k?x?a?.从而f?a??0,而f(a)?0,由连续函数介值??f?a??k?k?k?性定理,方程f(x)?0在?a,a???f?a??上至少有一个根. k??若存在a?x1?x2?a?f?a?k使得f(x1)?f?x2??0,则由罗尔定理,存在???x1,x2?使得
f?a???上f'(?)?0,这是不可能的.(或由f'(x)?0知f(x)严格递增,进而f(x)?0在a,a???k??至多有一个根.)
注 更进一步在?a,???上有且仅有一个实根.
例3 设f(x)在?a,???上具有连续二阶导数,且f?a??0,f'(a)?0,f''(x)?0?x??0,????. 证明方程f(x)?0在?a,???上有且仅有一个实根.
证明 对任意当x?a时，由泰勒公式，f?x??f?a??f'?a?(x?a)?2f''??2??x?a?2(a???x),
?f?a??f''????f?a??从而f????????a??fa?fa?a??0.而f?a??0,由连续函数介值性定????f'?a??2f'?a???? 12
f?a??理,方程f(x)?0在?上至少有一个根.又由拉格朗日中值定??a,a????f'?a??理,f'(x)?f'?a??f''????x?a??0 (a???x)，f(x)严格递减,进而f(x)?0在
?f?a??上至多有一个根.故方程f(x)?0在?a,???上有且仅有一个实根. ??a,a???f'?a???
练习 设f(x)在?0,???上具有连续二阶导数,且f?0??0,f'(0)?0,f''(x)?0?x??0,????.
??证明方程f(x)?0在?0,?f?0??上有且仅有一个实根.
???f'?0??
例4 设f(x)在?0,2?上二次可导,且f?x??1,f''?x??1在?0,2?上成立.证明对任意x??0,2? 有f'?x??2.
证明 设x??0,2?,由泰勒公式得f?0??f?x??f'?x?(0?x)?f?2??f?x??f'?x?(2?x)?2f'?x??f?2??f?0??f''??2?2x2f''??1?2?0?x?2(0??1?x),
?2?x?2(x??2f''??2?2?2),两式想减得
f''??1?2??2?x?2,所以
f''??2?
2f'?x??f?2??f?0???1?1?x2x222f'??1???2?x?2222??2?x?22?x?2x?4??x?1??3?4.
所以当x??0,2?时,f'?x??2.
由f'(x)的连续性知对任意x??0,2?有f'?x??2.
练习1 设f(x)在?0,1?上二次可导,且f?x??1,f''?x??2在?0,1?上成立.证明对任意
x??0,1?有f'?x??3.
练习2 设f(x)在?0,1?上二次可导,且f?0??f?1?及f''?x??M在?0,1?上成立.证明对任意
x??0,1?有f'?x??M2.
一般性结论：
例5 设f(x)在???,???上二次可导,且M0?supx????,??f?x????,M?2?supx????,??f''?x????.
? 13
试证M1?supx????,??2f'?x????且M1?2M0M2.
?证明 方法1 由泰勒公式得
f?x?h??f?x??f'?x?h?f?x?h??f?x??f'?x?h?f''??2f''???2?2h （1） 其中?介于x与x?h之间,
2h （2） 其中?介于x与x?h之间
（1）-（2）得 f?x?h??f?x?h??2f'?x?h?即 2f'?x?h?f?x?h??f?x?h??进而有 2f'?x?h?f?x?h??f?x?h??h2f''????f''???2f''????f''???22h
2h
2?f''????f''????2M?02?hM2 （*）
即关于h的二次函数 M2h2?2f'?x?h?2M0?0 对任意h成立.由判别式??f'?x??2M0M2?0.
f'?x?22?2M0M2对一切x都成立,从而M1?supx????,??2f'?x????且M1?2M0M2.
?方法2 由（*）式f'?x??MhhM2MhhM2Mh20?hM22对一切x及h?0都成立.
MhhM2因
0?2?20??2M0M2当且仅当
0?2
即h?2MM20时取等号.取h?2MM20则有f'?x??2M0M2,从而结论得证.
练习 设f(x)在?0,???上二次可导,且
M0?supx????,???f?x?,M1?supx????,??f'?x?,M?2?supx????,??f''?x?.
?试证(1)M12?4M0M2.(2) 设f''(x)在?0,???上有界且limf(x)?0,证明limf''(x)?0.
x???x???证明 （1） 对任意x?0及h?0,由泰勒公式得
f?x?h??f?x??f'?x?h?f'?x?h?f?x?h??f?x??f''??2f''??2??2h , 其中?介于x与x?h之间,即
2h,进而有f'?x??2Mh0?hM22.
若取h?2MM02则有f'?x??2M0M2,从而f'?x??4M0M2,即M12?4M0M2.
?22(2) 设f''?x??M,因limf(x)?0,故???0,???0,当x??时, f?x??x???.由上面(1)
4M 14
知,在??,???上有M21?4??24M2?M??,即f'?x?222?M1??，类似可证在???,???上有
f'?x???,故limf''(x)?0.
x???
例6 设在???,???内f''(x)?0且f(0)?0.证明函数F(x)?内是严格单调增加的. 证明 求导得F(x)?xf'?x??f?x?x2f?x?x在区间???,0?与?0,???.令G?x??xf'(x)?f?x?,则G'?x??xf''(x)?f'?x??f'?x?
?xf''?x?.因此当x?0时, G'?x??0;当x?0时, G'?x??0.故当x?0时G?x??G?0??0?f?0??0.从而F'(x)?0,因此F(x)在???,0?与?0,???内是严格单调增加
的.
例7 设f(x)在?0,???上 连续,且当x?0时, f?x??0.证明当x?0时函数??x??是严格单调减少的. 证明 求导得?'?x????x0xf?t?dttf?t?dt.
0?x0tf?t?dt?f?x???x0f?t?dt?xf?x?2?f?x??xtf?t?dt?????0?2?xtf?t?dt?????0??xtf?t?dt?xxf?t?dt?.
?0????0?因为当t??0,x?时, (t?x)f?t??0,且不恒为0,故?tf?t?dt?x?f?t?dt?00xx??t?x?f?t?dt0x?0.
所以?'?x??0,故??x?是严格单调减少的.
例8 求证对任意自然数n,有2n?1?n2n?1.
证明 设f?x??2x?1?x2x?1(其中x?1),则f(1)?0.
x?1f'?x??2ln2?2xx?12?x?x212x?1x?1x?1?22ln2?22(22ln2?1?32x2ln2).
令F?x??2x?12ln2?1?ln2,(x?1),则F?1??x?1ln2?1?ln22?lne?0.因为
22ln2?2ln2?1.故F'?x??22(ln2)?212?12ln2?0.所以当x?1时, F?x??F?1??0.
从而当x?1时f'?x??0.因此f?x??f?1??0,即2x?1?x2x?1. 例8的初等证明 用数学归纳法.当n?1,2时不等式显然成立.
设2n?1?n2n?1,则2n?1`?2(1?n2n?1).只要证明2(1?n2n?1)?1??n?1?2n故只要证
2n2n?1??n?1?2n该式两边平方得4n2?2n?1??n?1??2n.即只要证2n2??n?1?.即
22 15