矩阵一
一、 判断题
1. 对于任意n阶矩阵
A，B，有A?B?A?B.
2. 如果3. 如果4. 设
A2?0则A?0.
A?A2?I，则A为可逆矩阵.
A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.
二、 选择题
1．设
A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(BT??B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是
AB?BA (B) AB?BA (C) (AB)2 (D) BAB
（ ）(A)
2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。 (A)
ATA (B) A?AT (C) A2 (D) AT?A
3．以下结论不正确的是（ ）。 (A) 如果(B) 如果(C) 如果(D) 如果4．
A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵； A是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵； A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵； A是对角阵，则A2也是对角阵。
A是m?k矩阵, B是k?t矩阵, 若B的第 j列元素全为零，则下列结论正确的是（ ）
j列元素全等于零； (B) AB的第j列元素全等于零； j列元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零；
(A) AB的第
(C) BA的第 5．设A,B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ）
2 (A) (A?B) (C) (AB)2?A2?2AB?B2 (B) A2?B2?(A?B)(A?B)
?A2B2 (D) A2?I2?(A?I)(A?I)
6．下列命题正确的是（ ）
(A) 若AB?AC，则B?C (B) 若AB?AC，且(C) 若
A?0，则B?C
，则B?C
且A?0，则B?C (D) 若AB?AC，且B?0,C?0AB?AC，
7. A是m?n 矩阵，B是n?m矩阵，则（ ） (A) 当m(B) 当m(C) 当n(D) 当n>n时，必有行列式AB?0； >n时，必有行列式AB?0
?m时，必有行列式AB?0； ?m时，必有行列式AB?0；
8．以下结论正确的是（ ） (A) 如果矩阵(B) 如果矩阵(C)
A的行列式，则A?0,则A?0； A满足A2?0，则A?0；
A,B，有(A?B)(A?B)?A2?B2
，则（ ）
n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；
(D) 对任意方阵
9．如果矩阵(A) (C) 10.设
A,B满足A?BA?B (B)AT?B
A?B (D)A?B可能成立也可能不成立
A是n阶矩阵，A适合下列条件（ ）时，In?A必是可逆矩阵
An?0 (B)A是可逆矩阵
n(A) (C)A?0 (D)A主对角线上的元素全为零
11．n阶矩阵
(A)
A是可逆矩阵的充分必要条件是（ ）
A?1 (B) A?0 (C) A?AT (D) A?0
12．A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ ）
A是可逆矩阵，则从AB?AC可推出BA?CA
(B) 若A是可逆矩阵，则必有AB?BA
(C) 若A?0，则从AB?AC可推出B?C (D) 若B?C，则必有AB?AC
(A) 若
13．A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若(A) 14．
ABC?E，则有（ ）
ACB?E (B)BAC?E (C)BCA?E (D)CBA?E
A是阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ ）
A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵； A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵； A*?0，则A是可逆矩阵；
(A) 若(B) 若(C) 若(D)
AA*?A;
A?0，则A*?（ ） A215．设是5阶方阵，且
(A)
*A (B) (C)
A3 (D)
A4
16．设A是
A?(aij)n?n的伴随阵，则A*A中位于(i,j)的元素为（ ）
(A)
?aAk?1jkkin (B)
?aAk?1kjkin (C)
?aAk?1jkikn (D)
?aAk?1kikjn
?a11?a1n??A11?A1n?17.设A??????, B??????,其中Aij是aij的代数余子式，则（ ）
???an1?ann???An1?Ann??(A)
A是B的伴随 (B)B是A的伴随 (C)B是AT的伴随 (D)以上结论都不对
?A0?,则C*?( )
??0B??18．设A,B为方阵，分块对角阵C??AA*0??A*0?(A) C??*? *? (B)C??0BB0B?????BA*?ABA*?0?0C?(C)C?? (D)?*?*?
0AB0ABB?????46?,B??135?，下列运算可行的是（ ） ???1?2???246??(A) A?B (B)A?B (C)AB (D)AB?BA 20．设A,B是两个m?n矩阵，C是n阶矩阵，那么（ ）
19．已知A?(A)
(A?B)?CA?CB (B)(AT?BT)C?ATC?BTC
(B)
CT(A?B)?CTA?CTB (D)(A?B)C?AC?BC
21．对任意一个n阶矩阵
A，若n阶矩阵B能满足AB?BA，那么B是一个（ ）
(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)单位阵 (D)A的逆矩阵 A是一个上三角阵，且A?0，那么A的对角线上的元素（ ）
?13?，则A?1?（ ） ??20??22．设
(A) 全为零 (B)只有一个为零 (C)至少有一个为零 (D)可能有零，也可能没有零 23．设A?1?1?1?1?????0?000?3? (C)?3? (D)?2? (B)?2? (A) ??11??11??11?11??????????????36??36??36??26?24．若A可逆，则AX?B?I的解是X?（ ）
(A) 不存在 (B)BA?1?A?1 (C)A?1B?A?1 (D)A?1B?I
25. 设A,B均为n阶非零矩阵，满足
(A)
AB?0，则A,B必有（ ）
r(A)?0或r(B)?0 (B)r(A)?n或r(B)?n
(C)r(A)?n或r(B)?n (D)r(A)?n或r(B)?0 26．设
，其中k为常数。 A是n阶矩阵，那么（ ）
3TT3T1(A)(A)?(A) (B)(kA)?AT
k(C)
k(kA)T?kA (D)(kA)T?A
?abc??acb?111???111?bc?，若AP??acb?，则P?（ ） 27．设A??a222???222?abcacb???333???333??(A)
?100??001??001??000??001? (B)?100? (C)?010? (D)?001? ?????010???001???100???010???1?a28．设n(n?3)阶矩阵A??a????a(A)
a1a?aaa1?a?????a?a?a?，若矩阵A的秩为1，则a必为（ ） ??1??1 (B)?1 (C)
11 (D) 1?nn?1三、 填空题
1． 设
1A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，有A?2，则(A)-1-2A*?_____
32． 设
A,B为4阶方阵，且A?3，则-(3A)-1?( ),BA2B-1?________
3． 设
A是一个m?n矩阵，B是一个n?s矩阵，那么是(AB)Tj列元素为_________
一个____阶矩阵，它
的第i行第
?a00?*4． 三阶对角矩阵A??0b0?，则A的伴随矩阵A?_____________ ??00c???123?*?1?_____________
5． 设A??023?，则(A)??003???0?0?6． 设a?0,i?1,2,?n，矩阵??i?0?a?n7． 设
a10?000a2?00?0??0?????的逆矩阵为___________ ?an?1??0??A,B都是可逆矩阵，矩阵C??0A?的逆矩阵为_______________
??B0???12?,B??13?,C??31?，则B(2A?C)?_____________
8． 设A??34???24???24?????9．
A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A为____________矩阵
?bxc??byc?111???111?A?bxcB?10．设方阵?222?， ?b2y2c2?，且A??2,B?3则行列式
bxcbyc???333???333??A+B?____________
11．设
A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知A?aB?b，则行列式0A?_______
B0?35?323?1?的秩为________ ?1?0???0?312．矩阵A???2??113．设
A为n阶方阵，且A?0，则 在A相抵关系下的标准形为___________
0??100??1，则A?_______________。
01?2??011??，则
?5??214．设A??0??0?15．设X??20?2?1??2?1?????X?????12???12?X?________。
?101????1216．设A??020?，则?A?3I?A?9I?__________。
?001?????17．已知
A为n阶矩阵，A可逆，则I??I?A??I?A???1??I?A??___。
18．若对任意的n?1矩阵
四．计算题
A均有Ax?0，则A?_______。
?123???TT1． 已知x是n?1矩阵，且A?xx??246?，求（1）xx；
?369???2． 设
（2）A
nA,B是n阶可逆矩阵，且满足
X?BAB?2?T??1AT??1?XABA?2?T??1BT??1?A?B? 求X
?1