几何不等式
东北师大附中 卢秀军
一、基础知识
1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。 2．证明几何不等式常用方法
（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是： （1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键； （2）利用重要的几何不等式及代数不等式；
（3）当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.
（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：
（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；
（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.
（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是： （1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；
（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式
在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式——柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.
4．几个著名的几何不等式 （1）托勒密定理的推广：
在凸四边形ABCD中，一定有：AB?CD?AD?BC?AC?BD，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.
证明1：取点E，使?BAE??CAD，?ABE??ACD 则?ABE∽?ACD
∴
ABBEABAE??， ACCDACAD∴AB?CD?AC?BE （1） 又?BAC??DAE ∴?ABC∽?AED ∴
BCAC? DEAD∴BC?AD?AC?DE
∴AB?CD?BC?AD?AC?BE?AC?DE?AC?(BE?DE)?AC?BD
上式等号成立当且仅当E在对角线BD上.此时?ABD??ACD，从而四边形内接于圆. 证明2：复数法
设A、B、C、D对应的复数分别是z1、z2、z3、z4
用到下面的恒等式(z1?z4)(z2?z3)?(z2?z4)(z3?z1)?(z3?z4)(z1?z2)?0 则AB?CD?AD?BC?|(z1?z2)(z3?z4)|?|(z1?z4)(z2?z3)|
?|(z1?z2)(z3?z4)?(z1?z4)(z2?z3)| ?|?(z2?z4)(z3?z1)|?AC?BD
（2）（嵌入不等式） 设x,y,z?R,A?B?C?(2k?1)?,k?Z， 求证：x?y?z?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC 等号成立的充要条件是：x?ycosC?zcosB及ysinC?zsinB. 证明：x2?y2?z2?2yzcosA?2zxcosB?2xycosC
222?x2?2(zcosB?ycosC)x?y2?z2?2yzcos(B?C)
?x2?2(zcosB?ycosC)x?(zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2 ?(x?zcosB?ycosC)2?(zsinB?ysinC)2?0
当且仅当x?ycosC?zcosB且ysinC?zsinB时取等号
（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：
在?ABC内部任取点P，dA,dB,dC分别表示由点P到顶点A,B,C之间的距离，da,db,dc分别表示由点P到边BC,CA,AB的距离， 则dA?dB?dC?2(da?db?dc) 证明1：
过P作直线XY分别交AB,AC于X,Y，使?AYX??ABC 则?AYX∽?ABC
∴
AXXY?ACAYABBC,XY?BC 又∵S1?AXY?2AX?d11c?2AY?db?2XY?dA ∴dAXA?XY?dAYc?XY?db 即dACA?BC?dABc?BC?db 同理：dBCB?AC?dABc?AC?da dBCC?AB?dACb?AB?da ∴dA?dB?dC?2(da?db?dc) 证明2：P,E,A,F四点共圆 则
EFsinA?dA 在?EFP中，由余弦定理得
EF2?d22c?db?2dc?db?cos(B?C) ?(dccosB?dbcosC)2?(dcsinB?dbsinC)2 ?(dcsinB?dbsinC)2
∴EF?dcsinB?dbsinC ∴dsinBA?sinAdsinCc?sinAdb 同理dsinAB?sinBdsinCc?sinBda dsinAsinCd?sinBC?csinCda ∴dA?dB?dC?2(da?db?dc)
证明3：设?APB??,?BPC??,?CPA?? 则AB2?d2A?d2B?2dA?dB?cos?
BC2?d22B?dC?2dB?dC?cos?
CA2?d22C?dA?2dC?dA?cos?
又
12BC?d1a?2dB?dC?sin? AXPYBCAFEPBDC∴da?dB?dC?sin?dB?dC?2dB?dC?cos?22?dB?dC?sin?(dB?dC)?2dB?dC?(1?cos?)2
?dB?dC?sin?2dB?dC?(1?cos?)?dB?dC?sin?2dB?dC?2sin2?2?1?dB?dCcos 22即da?1?dB?dCcos 221?dC?dAcos 22同理db?dc?1?dA?dBcos 221???(dB?dCcos?dC?dAcos?dA?dBcos) 2222da?db?dc??1(dA?dB?dC)（嵌入不等式） 2证明四：
设?BPC?2?,?CPA?2?,?APB?2?，且???????
设它们的内角平分线长分别是wa、wb、wc，且wa?da、wb?db、wc?dc 只要证更强的结论
dA?dB?dC?2(wa?wb?wc)
112dBdC?(dB?dC?a)?(dB?dC?a)22 wa?dB?dC?dBdC?(dB2?dC2?a2?2dBdC)
dB?dCdB2?dC2?a2又cos2??，即dB2?dC2?a2?2dBdCcos2?
2dBdC∴wa?dBdC2dBdC?2(1?cos2?)?cos??dBdCcos?
dB?dCdB?dC同理wb?dAdCcos?，wc?∵??????? ∴由嵌入不等式得
dAdBcos?
2(wa?wb?wc)?2(dBdCcos??dAdCcos??dAdBcos?)?dA?dB?dC
（4）外森比克不等式：
设?ABC的边长和面积分别为a,b,c和S，则a?b?c?43S，当且仅当?ABC为正三角形时等号
222成立.
证明方法很多，证明略
5．费尔马(Fermat)问题：在?ABC中，使PA?PB?PC为最小的平面上的P点称为费尔马点.当
?BAC?120?时，A点为费尔马点；当?ABC中任一内角都小于120?时，则与三边张角为120?的P点
为费尔马点. 例题
例1 已知?ABC，设I是它的内心，?A,?B,?C的内角平分线分别交其对边于A/,B/,C/，求证：
1AI?BI?CI8??. ///4AA?BB?CC27证明：令BC?a,CA?b,AB?c
IA/A/BA/Ca???由角平分线定理，易得 IAcbb?cAA/a?b?c?∴ IAb?c∴
IAb?c? /a?b?cAA1b?cb?c???1 2b?c?b?ca?b?c易得
∴
IAb?c1??(,1) /a?b?c2AA同理
IBa?c1??(,1) /a?b?c2BBICa?b1??(,1)
2CC/a?b?cIA/IB/IC/???2 则//AABBCC处理（1） 令
IA1IB1IC1??t,??t,??t3， 12///222AABBCC121 23则t1,t2,t3?(,1),t1?t2?t3?11?1?(?t1)?(?t2)?(?t3)??11122??8 ∴(?t1)(?t2)(?t3)??2222327??????∴(?t1)(12111111?t2)(?t3)??(t1?t2?t3)?(t1t2?t2t3?t3t1)?t1t2t3? 228424