习题九 概率波
一 选择题 1.(B). 2.(D).3.(D).4. C 5.A 6.C
1.在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数(n，l，ml，ms)是 ［ B ］ (A) (1，0，0，?1111)． (B) (2，1，-1，)． (C) (2，0，1，?)． (D) (3，1，-1，?)．
22222. 已知粒子处于宽度为a的一维无限深势阱中运动的波函数为 ［ D ］ ?n(x)?2n?xsin ，n = 1, 2, 3, … 则当n = 1时，在x1 = a/4 →x2 = 3a/4区间找到粒子的概率为 aa (A) 0.091． (B) 0.182． (C) 1． (D) 0.818．
3. 氢原子中处于3d量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n，l，ml，ms)可能取的值为［ D ］
(A) (3，0，1，?4．下列四组量子数：
（1）n = 3，l = 2，ml?0，ms?1/2； （3）n = 3，l = 1，ml??1，ms??1/2； 其中可以描述原子中电子状态的 [ C ]
（Ａ）（１）和（３）； （Ｂ）（２）和（４）； （Ｃ）（１）、（３）和（４）；（Ｄ）（２）、（３）和（４）。 解：根据氢原子的量子理论和四个量子数（n，l，ml，ms）的取值关系，当n = 3时，l 的可能取值为0，1，2；
（2）n = 3，l = 3，ml?1，ms?1/2； （4）n = 3，l = 0，ml?0，ms??1/2。
1111)． (B) (1，1，1，?)． (C) (2，1，2，)． (D) (3，2，0，)．
22221（3）和（4）可以描述原子中电子状态，故选项（C）对。 ml的可能取值是0,?1,?2，ms??，因而（1）
25．根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的角动量与在第一激发态的轨道角动量之比为 [ A ]
（Ａ）5/2； （Ｂ）5/3； （Ｃ）5/4； （Ｄ）５。 解：玻尔理论中角动量满足公式L?n
h，第一激发态，n = 2。由此可得答案（A）。 2?6．将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ]
（Ａ）增大D2倍；
（Ｂ）增大2D倍；
（Ｃ）增大D倍；
（Ｄ）不变。
解：不变。波函数是概率函数，其模的平方描述粒子t时刻在空间某点出现的概率。而概率是相对值，任意两点1和2之间的概率比值为：二 填空题
1.主量子数n = 4的量子态中，角量子数l的可能取值为__ 0，1，2，3_；磁量子数ml的可能取值为0，±1，±2，±3___．
2．在主量子数n =2，自旋磁量子数ms?三 计算题
1.能量为15 eV的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长． (电子的质量me=9.11×10 kg，普朗克常量h =6.63×10 J·s，1 eV =1.60×10 J) 解：远离核的光电子动能为 EK?-31
-34
-19
D?1D?222??1?222 可见，各点振幅同时增大D倍时概率分布不变。
1的量子态中，能够填充的最大电子数是____4__． 23．处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发时，其电子的轨道半径为基态轨道半径的 9 倍。
1mev2?15?13.6?1.4 eV 则 v?22EK?7.0×105 m/s me光电子的德布罗意波长为 ??
hh??1.04×10-9 m =10.4 ?? pmev1
2.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ?n(x)?2/asin(n?x/a) (0
a/4 P??02?xsin2dx?aa212?02a?x?xsin2d() a?aaa/412?x?[?sin]?a4a02?x?a1212?a?[2?sin()] =0.091 ?a44a4(2) 当 cos(2?x/a)??1时， ?(x)有最大值．在0≤x≤a范围内可得 2?x/a?? ∴ x?1a． 23．设有一电子在宽为0.20 nm的一维无限深的方势阱中。 （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态（n?2）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？
a答案：（1）9.43eV；（2）在x?0,,a（即x?0， 0.10nm， 0.20nm）处概率最小，其值均为零。
2h2解：（1）一维无限深势阱中粒子的可能能量En?n，式中a为势阱宽度。
8ma2当量子数n?1时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为
2h2E1??1.51?10?18J?9.43eV
8ma（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为：?n(x)?当它处于第一激发态（n?2）时，波函数：?(x)?相应的概率密度函数：?(x)?22n?sinx,n?1,2,... aa22?sinx,0?x?a aa222?sinx,0?x?a aa令
d?(x)dx?2??0， 得 8?sin2?xcos2?x?0。
a2aaaa3a2在0?x?a的范围内讨论可得，当x?0,,,,a时，函数?(x)取得极值。
424由
d?(x)dx?2??0可知，函数在x?0,a,a（即x?0， 0.10nm， 0.20nm）处概率最小，其值均为零，即电子不出
2现在这些位置。
2