???zdV??d??V02?220rdr?1?r2rzdz?2??2201?r(1?r2?r2)dr? 28例4 设F(t)????[z?2?f(x2?y2)]dxdydz，其中f(u)连续。?为0?z?h，
x2?y2?t2(t?0)，求
解 F(t)?dFF(t)和lim。 2t?0?tdth0222222[z?f(x?y)]dxdydz?dz[z?f(x?y)]dxdy ???????Dz
h2?tht?1???dz??d??(z2?f(r2))rdr???2??z2t2??f(r2))rdr?dz
??000?0?0?2?
h31t2??t?2?h?f(z)dz
3202
dF232??ht??hf(t2)2t??h3t?2?hf(t2) dt33t2132?ht??h?f(t)dt1F(t)03lim?lim??h3??hf(0)。 22??t?0t?0tt3222例5 ???(x?2y?z?xy?x)dV，V：x2?y2?z2?R2。
V解 由奇偶性
???xydV????xdVVVVV?0
由轮换对称性
222xdV?ydV?z?????????dV，
V故原式?2???2ydV?V2(x2?y2?z2)dV ???3V
??R22?8225d?sin?d?rrdr??R ???0003157.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算 7.4.1 第一型曲线积分的计算
物理解释：视f为密度函数，则积分为曲线质量。 几何解释：1. 取f?1，积分为曲线弧长。 2. 第一型曲线积分
?Lf(x,y)ds，当f(x,y)?0时，表示以xOy平面上的曲线段L为
6
准线。母线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。
一、计算方法：设参数，化定积分
1．??x?x(t)
?y?y(t)ds?x?2?y?2dt
2. ??y?y(x)
?(x?x)ds1?y?2dx
?x?r(?)cos?3. r?r(?)??
y?r(?)sin???x?x(t)?1’ ?y?y(t)
?z?z(t)??y?y(x)?2’ ?z?z(x)
?(x?x)?ds?r2?r?2d?
ds?(dx)2?(dy)2?(dz)2?x?2?y?2?z?2dt
ds?1?y?2?z?2dx(此类空间曲线常以隐式方程形式出现)
特殊的：平行x轴线段 ds?dx，平行y轴线段 例1 计算I?xds，L:如图ABCDEA
Lds?dy
?解
I??xds??xds????xds
L1L2L5其中 L1:?s?x?cott?y?sin
ds?x?2?y?2dt
L1?xds???costdt?1
?20
?x?cost ds?sin2t?4cos2tdt?4?3sin2tdt L2:??y?2sint?
L2?xds??cost4?3sintdt??202104?3x2dx?12? ?233
L3:y?2?x2
ds?1?y?2dx?1?4x2dx
L3?xds??0?2x1?4x2dx??13 6 7
L4:x??2,ds?dy ?xds???2dy??2
L4?10L5:y??1,ds?dx
L5?xds??0?2xdx??1
故原式?1?12?1323?10???2?1???2 233696x2y2??1。计算?(x?2y?3x2?4y2)ds 例2 设L为周长为a的椭圆43L解 由对称性
22，xds?2yds?0(3x?4y)ds??12ds?12a ???LLLL?x2?y2?z2?R2例3 计算?xds，L:?交线
?x?y?z?0L2解 由轮换对称性
?xds??yds??zds，
LLL222原式?
习题 1．计算
1121223222(x?y?z)ds?Rds?R?2?R??R ??3L3L33?x?a(t?sint)25632L:0?t?2?ydsa) ，摆线 ，（一拱） （??L15?y?a(1?cost)
2．计算
?(xL43?y)ds，L:x?y?a，一周 （星形线：4a）
|y|ds，L:双纽线(x2?y2)2?a(x2?y2)的一周(a?0)（2(2?2)a2）
43232323733．计算I??L7.4.2 第一型曲面积分的计算
一、物理解释：f?1时得曲面面积 二、计算方法：投影，做二重积分 1．若曲面方程为z?z(x,y)，则
2?2dS?1?z?x?zydxdy
??Sf(x,y,z)dS?Dxy??2?2f(x,y,z(x,y)1?z?x?zydxdy
2．若曲面方程为y?y(z,x)，则
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2?2dS?1?y?x?yzdzdx
??Sf(x,y,z)dS?Dyz??2?2f(x,y(z,x),z1?y?x?yzdzdx
3．若曲面方程为x?x(y,z)，则
2?2dS?1?x?y?xzdydz
??Sf(x,y,z)dS?Dzx??2?2f(x(y,z),y,z1?x?y?xzdydz
三、例题 例1 计算
??(xS2?y2)dS，S:x2?y2?z2(0?z?1)表面
22x2y22
x2y2?2dxdy 解 原式???(x?y)1?z??z?dxdy???(x?y)1?222x?yx?yDxyDxy2
?Dxy??2(x?y)dxdy?2?d??r3dr?00222?12? 2 例2 计算
dS222z?HSz?0，其中是介于，之间的柱面。 x?y?R222??x?y?zS
解 （1）曲面向yOz面投影，由对称性 原式?2dSy222?，，S:x?y?R(x?0)x??,x?1yz?0 222??22x?y?zR?yS11dydz 22R?y
1y2R1?dydz?2原式?2??2??R2?z2R?z2R2?y2DyzDyz
?2R?H0RdzdyH ?2?arctan22??R22R?zRR?y
解（2）取微元dS?2?Rdz，原式??H02?RdzH?2?arctan
R2?z2R
x2y2??z2?1的上半部分，点P(x,y,z)?S，?是S在P点的切例3 S是椭球面22平面，d(x,y,z)为原点O到切平面?的距离。求
zdS。 ??d(x,y,z)SxZyZ??zZ?1 22
解 设(X,Y,Z)是切平面上任意点，则切平面?的方程为
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xXyY??zZ?122d(x,y,z)?22?x??y?2??????z?2??2??(0,0,0)1?x??y?2??????z?2??2?22
xyx2y2???z????z2?1，得z?又由S： ，由对称性， xy2z2z224?x2?y2 dS?1?z???z??2z2x2y2z112?3?22故 ?? dS???(4?x?y)dxdy??d??(4?r2)rdr?00d(x,y,z)442SDxy
例4 计算
??(x?2y?xy?3xS2?4y2)dS，S:x2?y2?z2?a2(a?0)
?0，
解 依对称性
??xdS???ydS???xydSSSSSSS再轮换对称性
222xdS?ydS?z??????dS，则
I???(3x2?4y2)dS?7?S172722842222(x?y?z)dS?adS?a?4?a??a ??3??333SS7.5 数量值函数积分应用举例
对几何形体?来说，?上的可加量Q的微元的一般形式为f(M)d?，即
dQ?f(M)d?，M?d?，其中d?为?的任一子量，f(M)为?上的连续函数，而且?Q?f(M)d?是当d?0时的无穷小。找到微元后dQ?f(M)d?以后，对f(M)在?
上积分即得Q，也即 Q?
7.5.1 几何问题举例
7.5.2 质心与转动惯量 质心坐标为
??f(M)d?
x??MyM???x?(x,y)d?D???(x,y)d?D,y??Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D
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