?11形心为 x???xd?,y???yd?，
ADAD?
1x?M?1x?(x,y,z)dv,y???M????y?(x,y,z)dv,z???1M??z?(x,y,z)dv
?其中M????(x,y,z)dv
?薄片对x轴及y轴的转动惯量为
Ix???y2?(x,y)d?,DIy???x2?(x,y)d?
D物体对于x、y、z轴的转动惯量为
Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv，
?Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv
?Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv
?
x2y2例1 求均匀椭圆2?2?1绕直线y?kx的转动惯量，并说明k为何值时转动惯量最
ab大。
解
Jk?x2???y2(y?kx)2ab??b2?a2k2ab???dxdy???1?k241?k24?1?2k2?22?b?(a?b)1?k2? ??a2b2
若a?b，转动惯量与k无关
若a?b，k?0，绕x轴的转动惯量最大。
若a?b。k??，绕y轴的转动惯量最大，此时直线为x?0。
7．5．3 引力
物体对位于P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力近似地为
dF?(dFx,dFy,dFz)
?G
???(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3?dv?， ?其中dFx,dFy,dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量，
r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2，G为引力常数，将dFx,dFy,dFz在?上分别积
11
分，即得 F?(Fx,Fy,Fz) ???G?(x,y,z)(x?x0)G?(x,y,z)(y?y0)G?(x,y,z)(z?z0)?. dv,dv,dv?333???????????rrr?????例1 设平面薄片占有xOy平面上的半圆闭区域D:x2?y2?R2，y?0，面密度为常
数?，求它对位于(0,0,?a)(a?0)处的单位质量的质点的引力。
解 由对称性有Fx?0，
Fy?G??D?(x,y)y(x2?y2?a)?0322d??G??d??0?Rrsin?(r2?a)R03220rdr， （G为引力常数）
?G??sin?d??Rr2(r2?a)3220dr?2G??r2?a2?a2(r2?a)322dr
??2RR1a ?2G???dr??dr? 130?02?22222(r?a)???(r?a)??R?R2?a2?R? ?2G??ln? 22aR?a????Fz??G?a??D
1(x2?y2?a)322d??G?a?d??02?R2r(r?a)230dr
?11?G??a???aR2?a2???? ? 12