＝ ────────────────────── ＝８ （２分）
３
１＋ｅx－ｅx
３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分） （１＋ｅx）2
ｄｘ ｄ（１＋ｅx）
＝∫─────－∫─────── （１分） １＋ｅx （１＋ｅx）2 １＋ｅx－ｅx １
＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分） １＋ｅx １＋ｅx １
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分） １＋ｅx
４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）
ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）
ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分） ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２
所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分） １ ０ －３ __ __
６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分） __ ｄｙ ＝ｅx + √y + sinz［（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ＋ ─────］ （２分）
___ ２√ｙ π asinθ １ π
７．解：原积分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分）
0 0 ２ 0 π/2 ２
＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分） 0 ３
ｄｙ ｄｘ
８．解：两边同除以（ｙ＋１）2 得 ──────＝────── （２分）
（１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 ｄｙ ｄｘ
两边积分得 ∫──────＝∫────── （１分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 １ １
亦即所求通解为 ──── － ──── ＝ｃ （２分） １＋ｘ １＋ｙ
１ １
９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分） １－ｘ ２＋ｘ １ １ １
＝──── ＋ ── ───── （１分）
１－ｘ ２ ｘ １＋── ２
∞ １ ∞ ｘn ｘ
＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分）
n=0 ２ n=0 ２n ２
∞ １
＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn （ │ｘ│〈１） （２分）
n=0 ２n+1
四、应用和证明题（共１５分）
ｄｕ
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ １
解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅ-kt/m） （３分） ｋ
ｍｇ
由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅ-kt/m） （２分） ｋ
__ １
２．证：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 则ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞］连续 （２分）
ｘ
１ １
而且当ｘ〉１时，ｆ'（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分） __ ｘ2 √ｘ
因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］单调增加 （１分） 从而当ｘ〉１时，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ ___ １
即当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── （１分） ｘ
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（１分）