2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U=R，集合M={x| x>1}，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 A．M=P B．P M C．M P（ D）MP?R 【答案】C
【详解】P?{x|x?1或x??1} M?{x|x?1}
易得MP
【名师指津】 集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察. （2）为了得到函数y?2x?3?1的图象，只需把函数y?2x上所有点 （A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】A
【详解】把函数y?2图像上所有点向右平移3个单位长度就得到函数y?2x?3x
x?3的图像；
再把函数y?2的图像向下平移1个单位长度，即得到函数y?2?1的图象。
【名师指津】要牢记图像的平移规律：（对x来说）正左移，负右移；（对y来说）正上移，负下移；平移规律可用简单的口诀来记忆：左右，上下，加减。 （3）“m=
x?31”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 2 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B
1时两直线斜率乘积为?1从而可得两直线垂直,当m??2时两直线一条斜率为0一条斜率21不存在,但两直线仍然垂直.因此m?是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
2【名师指津】对于两条直线垂直的充要条件①k1,k2都存在时k1.k2??1②k1,k2中有一个不存在另一个为
【详解】当m?零对于②这种情况多数考生容易忽略.
（4）若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 （A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 【答案】C
【详解】设所求两向量的夹角为?
?
c?a?b c?a ?c.a?(a?b).a?????????2??a?.a ?b0??
???
?|a|2??|a||b|cos? 即：cos??所以??120.
?????|a|??2|a||b|o???1 ???2|b||a|?【名师指津】 对于a.b?|a||b|cos?这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直（平行）的充要
条件必需掌握.
（5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （A）【答案】B 【详解】
将圆的方程配方得：x2?(y?6)2?9圆心在(0,6)半径为3,如图： 在图中Rt?PAO中,OP?6?2PA,从而得到?AOP?30,
o2???? （B） （C） （D） 6323即?AOB?60.所以两条切线的夹角的大小为
o?. 3
【名师指津】 以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系. （6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β) o当 ????30o时可排除A、B选项,当????15o时代入C选项中,即： 31?cos30o2o?2?3?0.268矛盾故选D 2si n两边平方?4sin15?4?42o0?cos3?0【名师指津】 特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑0,?1,,。角类的 11230o,30o,60o,45o,90o真数类1,底的n次幂或是n次幂的倒数等等 （7）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ．．． （A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E （C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC 【答案】C 【详解】 如图所示：DF∥BC可得A正确BC?PO BC?PE 可得BC?平面PAE 从而得DF?平面PAE B正确PO?平面ABC 则平面PAE?平面ABC D正确 【名师指津】立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱等中的边边、边面、面面 之间的关系为这一章节的重点内容,高考题的大部分题目都以它们为背景. （8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号 子项目，则不同的承建方案共有 141444（A）C4种 （D）A4种 C4种 （B）C4A4种 （C）C4【答案】B 【详解】分两个步骤进行。第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有 C14种方法； 414 第二步：其余的4个队任意安排，有A4种方法。故，不同的承建方案共有C4A4种。 【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础. 二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）抛物线y2=4x的准线方程是 ；焦点坐标是 ． 【答案】x= -1, (1,0 ) 【详解】2p=4,p=2, p?1.所以抛物线y2=4x的准线方程是x= -1；焦点坐标是(1,0 ) 2【名师指津】熟记圆锥曲线的标准方程及几何性质。 （10）(x?)的展开式中的常数项是 （用数字作答） 【答案】15 【详解】对于Tr?1?Cxr66?r12r3(6?r)21x6(?1)(x)?C(?1)x?r64当r?4时第5项为常数项,即 4T5?C6(?1)4?15. 4n?rr【名师指津】二项式定理第r?1项的通项公式Tr?1?Cnab的运用在往年高考中经常遇到. （11）函数f(x)?x?1?【答案】??1,2??(2,??) 1的定义域为 . 2?x?x?1?0【详解】由题意得，x得取值必须满足不等式组?，解得x??1，且x?2。 2?x?0?1所以，函数f(x)?x?1?的定义域为??1,2??(2,??) 2?x【名师指津】牢固掌握求函数定义域的依据 （12）在△ABC中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为 ． 【答案】2 【详解】?B?1800?(?A??C)?1800?1200?600，由正弦定理得 BCAC?， sinAsinB所以BC?AC?sinA?sinB3?3222?2 【名师指津】凡是关于三角形的边角关系的问题，一般要考虑是否能用正弦定理、余弦定理 （13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③ x?x2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2))?>0；④f(1. 22x1?x2 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【详解】 对于①②可以用f(x)?lgx直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示：对于f(x)?lgx图象上任意 不同两点A(x1,f(x1))B(x2,f(x2)) kAB?f(x1)?f(x2)?0显然成立（可以 x1?x2 用f'(x)? 1?0(x?0)）故③正确 xln10x?x2f(x1)?f(x2)x?x,)过C作DC?x轴交f(x)于D（12,yD) 再有AB中点C（1222x?x2f(x1)?f(x2))?yC?D在f(x)上有：yD?f(1故④不正确 22 【名师指津】 本题主要考查了f(x)?lgx函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合. nn?1（14）已知n次多项式P(x)?ax?ax??an?1x?an, n01 如果在一种算法中，计算x0k（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 1，2，…，n－1）．利0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?1（k＝0，用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要 次运算． 【答案】65 ， 20 【详解】 由题意知道x0k的值需要k?1次运算,即进行k?1次x0的乘法运算可得到x0k的结果 323对于P3(x0)?a0x0?a1x0?a2x0?a3这里a0x0?a0?x0?x0?x0进行了3次运算, a1x02?a1?x0?x0进行了2次运算,a2x0进行1次运算,最后a0x03,a1x02,a2x0,a3之间的加法 3?2?1?3?9次运算 运算进行了3次这样P3(x0)总共进行了 (n?1)nnn?1n?n?1?n?2?...?1?对于P总共进行了次 (x)?ax?ax?...?an00010n2n(n?1)n(n?3)?n?乘法运算及n次加法运算所总共进行了次，所以P10(x0)=65 22由改进算法可知： Pn(x0)?x0Pn?1(x0)?an,Pn?1(x0)?x0Pn?2(x0)?an?1...P1(x0)?P0(x0)?a1,P0(x0)?a0 运算次数从后往前算和为：2?2?...?2?2n次，所以P10(x0)=10 【名师指津】 本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共12分） 已知tan?2=2，求 （I）tan(?? 【详解】 ?4)的值； （II） 6sin??cos?的值． 3sin??2cos?（I）因为tan?2?2, 2tan 所以tan???21?tan2?2?2?24??， 1?43 所以tan(??? 4?tan??1 41?tan?tan?1?tan?44??11 ?3??. 471?3)?tan??tan? 46?(-)?176sin??cos?6tan??13?? = 3sin??2cos?3tan??26?4?3?????2?3?【名师指津】 本题还考查了倍角的正切公式与两角和的正公式.三角函数知识的考查每年题目难度都不是很大,应该抓基本公式与基本题型的解决. （16）（本小题共14分） 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值． 【详解】（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； （III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角， 在△CED中，ED=CE= 5511AC 1=，CD=AB=，22221CB1=22， 2∴ cos?CED?82?22?52?22， 5∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值 22. 5