维纳滤波与图像去噪
摘 要首先选取对图像降噪比较有代表性的维纳滤波，在加有高斯噪声、椒盐噪声和乘性噪声的图像上进行处理，再将维纳滤波与中值滤波和均值滤波抑制噪声的效果进行比较，通过实验仿真及其处理效果，详细分析维纳滤波在图像去噪中的特点及各自作用的利弊。 关键词维纳滤波；中值滤波；均值滤波；图像去噪
Wiener filtering and image denoising
LIMeng,ZHAOQi
（Xi’an University of Posts and Telecommunications, School of communication and information engineering，
Xi’an710000, China）
Abstract：Select the first is a representative of wiener filtering for image noise reduction with gauss noise and salt and pepper noise and multiplicative noise of image processing, then wiener filtering and median filtering and mean filtering noise effect comparison, through the experimental simulation and the treatment effect, detailed analysis of wiener filtering in image denoising, the characteristics and the pros and cons of each role.
Keywords：Wiener filtering,Median filtering,Mean filtering,Image denoising
0 引言
图像在成像、传输、转换或存储的过程中会受到各种随机干扰信号即噪声的影响，从而会使画面变得粗糙、质量下降、特征淹没。为了减弱噪声、还原真实的画面，就需
[1]
要用到降噪滤波器对图像数据进行处理。通过选取对图像降噪比较有代表性的维纳滤波对加有高斯噪声、椒盐噪声和乘性噪声
的图像进行了处理，并将维纳滤波与中值滤
波和均值滤波抑制噪声的效果进行比较，结合实验仿真及其处理效果，详细分析维纳滤波在图像去噪中的特点及各自作用的利弊。
1图像去噪
图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。去噪效果的好坏直接影响到后续的图像处理工作如图像分割、边缘检测等。
图像信号在产生、传输过程中都可能会受到噪声的污染，一般数字图像系统中的常见噪声主要有：高斯噪声（主要由阻性元器件内部产生）、椒盐噪声（主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生的泊松噪声）等。
目前比较经典的图像去噪算法主要有
以下三种[2]
：
均值滤波：也称线性滤波，主要思想为邻域平均法，即用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。有效抑制加性噪声，但容易引起图像模糊，可以对其进行改进，
主要避开对景物边缘的平滑处理[3]
。
中值滤波：基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性平滑滤波信号处理技术。中值滤波的特点即是首先确定一个以某个像素为中心点的邻域，一般为方形邻域，也可以为圆形、十字形等等，然后将邻域中各像素的灰度值排序，取其中间值作为中心像素灰度的新值，这里领域被称为窗口，当窗口移动时，利用中值滤波可以对图像进行平滑处理。其算法简单，时间复杂度低，但其对点、线和尖顶多的图像不宜采用中值滤
波，很容易自适应化[4]
。
Wiener维纳滤波：最典型的一种滤波，20世纪40年代，维纳奠定了最佳滤波器研究的基础，即假定输入是有用信号和噪声信号的合成，并且它们都是广义平稳过程，而且他们的二阶统计特性都已知。维纳根据最小均方准则（即滤波器的输出信号与需要信号的均方值最小），求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。这是一种自适应滤波器，根据局部方差来调整滤波器效果，对于去除高斯噪声效果明显。由于基于维纳滤波器的图像复原效果比较好，具有一定的抑制噪声能力，近年来被广泛的应用到图象复原领域，维纳滤波算法得到不断的改进和发展。现在，许多有效的图
像复原算法都是在此基础形成的[5]
。
2维纳滤波原理
维纳滤波（wiener filtering) 一种基
于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。这种滤波器的输出与期望输出之间的
均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。它可用于提取被平稳噪声所污染的信号[6]
。
维纳滤波综合了退化函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。维纳滤波建立在最小化统计准则的基础上，它所得的结果只是平均意义上的最优。
从退化图像g?x,y?复原出原图像
f?x,y?的估计值，噪声为n?x,y?。用向量
f,g,n表示f?x,y?,g?x,y?,n?x,y?，Q为
对f的线性算子最小二乘方问题可看成是
使形式为 Qf?22的函数服从约束条件
g?Hf?2?n2的最小化问题。也就是说，
在约束条件g?Hf?2?n2下求Qf?的 最小化而得到f的最佳估计。 这种有条件的
极值问题可以用拉格朗日乘数法来处理。
用拉格朗日法建立目标函数：
minJ?f???Qf?2??g?Hf?2?n2 其中 λ为一常数，是拉格朗日乘数。
加上约束条件后，就可以按一般求极小值的
方法进行求解。将上式两边对f?微分，并另其结果为零,得:
?J?f????f?2QTQf?2?HT?g?f???0 求解f?，有： QTgQf???HTHf?g?01QTQf?T??HTHf??Hg (1) f???HTH?sQTQ??1HTg式中s?1?可以调节，以满足约束条件。
（1）式即为维纳滤波复原方法的基础。
设 和 分别为 f 和 n 的相关矩阵，即：
滤波器通常称为维纳滤波器或最小均方误差滤波器。其中，G??,??是退化图像的傅里叶变换，H??,??是退化函数，
Rf??ff,Rn??nn??T??
T 的第 ij 个元素是Efi,fj，代表 f 的第 i 个和第 j个元素的相关。因为 f 和 n 中的元素都是实数，所以 和 都是实对称矩阵，对于大多数图像而言，相邻像素之间相关性很强，在 20 ～ 30 个像素之外趋于零。在此条件下, 和 可以近似为分块循环矩阵，并进行对角化处理，有:
??Pn??,???N??,??是噪声功率谱,
2Pf??,???F??,??是原始图像功率谱。
2由上面原理推导可知，维纳滤波器的传递函数为：
Rf?WAW?1;Rn?WBW?1
式中 A和 B 为对角阵，W 为酉阵，A 和 B 中的元素对应和 中的相关元素的傅里叶变换。这些相关元素的傅叶变换称为图像和噪声的功率谱。
若QQ 用来代替RfRn，则(1)式变为
T??2?1?H??,???F??,?????H??,??H??,??2?s?Pn??,????Pf??,?????
如果噪声是零，则噪声的功率谱消失，并且维纳滤波退化为逆滤波，所以说逆滤波是维纳滤波的特例。
?1??HTH?sR?1Rffn???13维纳滤波原理（个人推导）
HTg (2)
由循环矩阵对角化的知识可知，分块循环矩阵：
g?x,y??f?x,y??h?x,y??n?x,y?
??g?x,y????x,y? f其中，f?x,y?是原来的信号（高清图像），h?x,y?是模糊退化矩阵，n?x,y?是
H?WDW?1,HT?WD*W?1
其中D为对角矩阵，其元素正是H的本
征值，D* 是D的复共轭。因而，（2）式变为：
??WD?DW?1?sWA?1BW?1?1WD?W?1g加入的噪声，g?x,y?是模糊下采样后的图f
上式两边同乘以,得：
像，??x,y?是滤波系统，f?x,y?是估计信
????DD*?sRRW?1ffn?1???1D*W?1g
号（恢复的图像）。根据正交原则——误差
信号与进入估计的信号正交，可得：
写成频率域形式为:
(3)
上式称为维纳滤波，括号中的项组成的
??2?1?H??,??其中，e?n1,n2?是误差信号，g??m1,m2?是
?G??,??F??,?????H??,??H??,??2?s?Pn??,???进入估计的信号。 ????P?,?f???g??Efg??f?g??0 Ef?fEe?n1,n2?g??m1,m2??0
????????所以
????????^G?????k,k?E?g?n?k,n?k??g?m,m??F?Y?????Efg??Ef?g??E??n1,n2??g?n1,n2??g????121122k1???k2???12???G??'GHHF2NF2?()2H
其中，g的自相关函数：
所以，
Pf111????????HHPf?PnH'Rfg?n1,n2????n1,n2??Rg?n1,n2?
对上式，两边取傅里叶变换，得：
所以
Rg?n1,n2??Eg?k1,k2??g??k1?n1,k2?n2??g?n1,n2??g??n1,?n2???????G?1?FH'F2?N?F2????H?2?G
??n1,n2??Rfg?n1,n2?Rg?n1,n2?
为了达到自适应的目的，加入一个调整系数s，得到：
^因为信号f、噪声n互不相关，所以
E[f(n1,n2),n?(m1,m2)]?E[f(n1,n2)]?E[n*(m1,m2)]
进一步得到：
F?1H?F2NF2?s()2H?G
Rfg(n1,n2)?Rf(n1,n2)?Pfg(?1,?2)?Pf(?1,?2)Rg(n1,n2)?Rf(n1,n2)?Rn(n1,n2)?Pg(?1,?2)?Pf(?1,?2)?Pn(?1,?2)
所以可以得到：
?(n1,n2)?
因为
Rfg(n1,n2)Rg(n1,n2)?Rf(n1,n2)Pf(?1,?2)思路：将退化加噪后的信号g?x,y?作
?Rf(n1,n2)?Rn(n1,n2)Pg(?1,?2)?Pn(?1,?2)用于一个“白化”滤波器，得到一个输出?n，
再将此输出用滤波器进行滤波，得到最佳估
g?x,y??f?x,y??h?x,y??n?x,y?
在频域可写为
??x,y?。??x,y?,即f计s实际系统都是因果的，
可以根据信号g?x,y?（模糊图像）的功率谱采用谱分解定理求出信号模型的传输函数H，根据谱分解的结果可以确定ω。这样，
N??G?HF?N?H?F??
H??令 Y?GN?F? HH??就可以根据F计。
?H?G得到信号的最佳估
4实验仿真与结果分析（程序见附录）
在仿真实验中，主要利用MATLAB实验平台，在MATLAB中可以按照维纳滤波的原理和公式来编写语句进行滤波，但由于此种方法较为复杂，同时MATLAB也有自带的维纳滤波器的函数，因此本课题中使用MATLAB自带的函数进行维纳滤波。在MATLAB中与维纳滤波有关的函数有wiener2()和deconvwnr()，这两个函数都能够完成维纳滤波的功能， deconvwnr()强调图象复原方面，wiener2()强调图像空间域锐化的作用[7]。其中wiener2()函数只支持二维滤波，由于此处选的是一张Lena的灰度图片，使用wiener2()函数。以下四个实验中，均采用默认的[3 3]窗口维纳滤波器。
（一）实验一、维纳滤波对不同噪声的滤波效果
原始图像加高斯噪声图维纳滤波后的图像原始图像加椒盐噪声图维纳滤波后的图像原始图像加乘性噪声图维纳滤波后的图像结论：从图中可以看到维纳滤波对高斯噪声、乘性噪声都有明显的抑制作用。 （二）实验二：给图像加入高斯噪声，作均值、中值和维纳滤波
原始图像加噪图像均值滤波后的图像中值滤波后的图像维纳滤波后的图像结论：对于高斯噪声，维纳滤波对噪声的抑制效果更好,容易失去边缘信息。 （三）实验三：给图像加入椒盐噪声，作均值、中值和维纳滤波
原始图像加噪图像均值滤波后的图像中值滤波后的图像维纳滤波后的图像
结论：中值滤波对于去除椒盐噪声效果最好，而维纳滤波去除效果则最差。 （四）实验四：给图像加乘性噪声，作均值、中值和维纳滤波