论文题目: 压缩感知回顾与展望
学 院： 计算机与信息学院
专业年级： 电子信息工程2010级 学 号：
姓 名：
指导教师、职称： 潘晓文 教授
2012年 11 月15日
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摘 要 压缩感知
是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析等基础上的一种全新的
信息获取与处理的理论框架．它基于信号的可压缩性，通过低维空间、低分辨率、欠奈奎斯特采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知．压缩感知不仅让我们重新审视线性问题，而且丰富了关于信号恢复的优化策略，极大的促进了数学理论和工程应用的结合．目前，压缩感知的研究正从早期的概念理解、数值仿真、原理验证、系统初步设计等阶段，转入到理论的进一步深化，以及实际系统的开发与应用阶段．本文分析了压缩感知的原理与应用，综述了压缩感知的最新进展及存在的问题，指出了进一步研究的方向。
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关键词：压缩感知；稀疏表示；压缩观测；优化恢复
众所周知，在奈奎斯特(Nyquist )采样定理为基础的传统数字信号处理框架下，若要从采样得到
的离散信号中无失真地恢复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍，然而，随着当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求。将
信号的采样转变成信息的采样，通过解一个优化问题就可以从压缩观测的数据中恢复原始信号.在该理论下，信号的采样速率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息在信号中的结构与内容，因此在满足信号的可压缩性，表示系统与观测系统的不相关性两大条件下，从低分辨观测中恢复高分辨信号就成为了可能。
压缩感知是建立在矩阵分析、统计概率论、拓扑几何、优化与运筹学、泛函分析与时频分析等基础上的一种新的信号描述与处理的理论框架.CS理论避开了高速采样，一旦实践成功，就意味着信号的采样与处理都可以以非常低的速率进行，这将显著降低数据存储和传输代价，以及信号处理时间和计算成本，给信号处理领域带来新的冲击.另一方面，这种压缩观测的思想也给高维数据分析指出了一条新的途径。它们不仅为许多应用科学如统计学、信息论、编码理论、计算机科学等带来了新的启发，而且在许多工程领域如低成本数码相机和音频采集设备、节电型图像采集设备、高分辨率地理资源观测、分布式传感器网络、超宽带信号处理等都具有重要的实践意义。
本文将以压缩感知的理论与应用为主线，综述压缩感知基础理论、关键问题以及典型的应用，展望未来的研究方向。
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1. 压缩感知基础理论
在介绍压缩感知理论之前，需要指出的是:尽管压缩感知理论最初的提出是为了克服传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制，但是它与传统采样定理有所不同。首先，传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号，而压缩感知理论描述的是有限维观测向量空间的向量;其次，传统采样理论是通过均匀采样(在很少情况下也采用非均匀采样)获取数据，压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积获得观测数据;再次，传统采样恢复是通过对采样数据的Sinc函数线性内插获得(在不均匀采样下不再是线性内插，而是非线性的插值恢复)，压缩感知采用的则是从线性观测数据中通过求解一个高度非线性的优化问题恢复信号的方法。
2. 压缩感知的关键要素
压缩感知理论的实现包含三个关键要素:稀疏性[4]、非相关观测、非线性优化重建，其
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中信号的稀疏性是压缩感知的必备条件，非相关观测是压缩感知的关键，非线性优化是压缩感知重建信号的手段.信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提，并且直接影响着信号感知的效率.由统计理论和组合优化理论可知:在满足重构条件时，通过选择合适的观测方式和重建算法，仅需要K+ 1次观测就可将N维空间的K一稀疏信号精确地重建.2007年Candle也指出，对于随机高斯和随机土i的Rademacher观测矩阵[5]，0( K * log( N/K))的采样就能将N维信号的K个最大值以较高的概率稳定重建.因此，信号在字典矩阵甲下的表示越稀疏，高概率精确重构所需要的观测数目就越少。压缩感知的关键是观测矩阵的构造.作为感知的前端，观测系统要求物理上容易实现，并且与表示系统所形成的CS信息算子矩阵A。具有较小的RIC。观测矩阵设计中的两个关键内容就是观测波形和采样方式，设计的主要原则是:(1)观测波形在理论上的最优性能即A。要具有良好的性质;(2)观测波形的普适性，即要满足和一般的字典或表示系统都具有不相关性;(3)实用性，包括快速计算、低存储量、硬件易实现等。目前常采用的测量波形是独立同分布的高斯随机波形、贝努利分布随机波形. Fourier正交函数系、半Fourier矩阵、Chirp序列、Alltop序列等.随机观测矩阵在理论上能满足其最优性，2006年，Candy，和Tai)等证明了:独立同分布的高斯随机变量形成的观测矩阵与任意正交字典都具有较强的不相关性 .2011年，Cand指出:在独立同分布的高斯随机变量形成的观测矩阵和任意超完备冗余字典的条件下，压缩观测信号的精确恢复仍然是有可能的[2]，因此高斯随机矩阵可成为普适的CS观测矩阵.但是，在实际实现中，其计算复杂度较高，占用的内存较多，因此不适合大规模应用.半Fourier矩阵计算快速、但不满足普适性，即只能用于时域稀疏的信号，不适用于自然图像等信号。在采样方式上，目前主要的有均匀采样、随机采样等.
非线性优化是CS重建信号的手段，也是从低分辨观测中恢复出高分辨信号所必须付出的软件代价.如
前所述，CandBs和Donoho提出的l;范数下的凸化压缩感知恢复是一个里程碑式的工作，对该框架的研究产生了丰富的关于优化恢复的工具，极大的促进了数学理论与工程实践的结合，此外，有些学者放松了l。范数的稀疏测度，使用非凸的l0(0<0<1)稀疏测度代替，研究松弛压缩感知框架下的信号恢复，国内学者徐宗本证明了P=0.5时解的最优性，并给出了最优解的解析形式。
3. 压缩感知的应用
Yonina C . Eldar提出了模拟信号在平移不变空间的压缩感知实现该方法对有限
维模型进行了扩展，将压缩采样应用到模拟域上，使得低速率采样下的超宽带信号处理成为可能.它定义了连续时间信号的稀疏性，对连续稀疏信号在平移不变空间实现了低速率采样。国内学者石光明等人提出的基于低速率采样压缩。
感知的UWB回声信号探测 , Wei Dai等人提出的阶层加权码和限制性整数压缩感知Jose L Paredes等人提出的压缩感知超宽带信道等压缩感知的一些发展，都是建立在该模型的基础上的.Matthew AHe等人将CS应用到高分辨率雷达探测，通过发射充足的“不相
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关”脉冲，利用CS技术来获得高分辨的目标探测性能。
3.1压缩成像
和传统的成像方式完全不同;压缩感知成像[6]可以从以远低于Nycluist采样率的采样率获取高质量的图像，有效降低了传感器数目与硬件成本，为微波、医疗成像提供了新的理论和方法[7]，目前在医疗成像、光学成像、对地观测等领域得到了成功的应用.第一个被广泛认可的实际系统就是美国Rice大学Baraniuk等人研制出的单像素相机，类似的系统还有Kir研制的Analog-to-Information Converter( AIC )、莱斯大学R Bataniuk教授研制的单像素相机和A/I转换器、麻省理工学院研制的MRI RF脉冲设备、麻省理工学院W T Free~教授研制的编码孔径相机、耶鲁大学研制的超谱成像仪、伊利诺伊州立大学0 Milenkovic研制的DNA微阵列传感器，以及我国中科院研制的CS滤波器和混沌腔[8]等.美国DARPA( Defense Advanced Re~gearch Projects Agency)资助的MONTAGE(Multiple Optical Non-Redundant ApertureGene诫喇Senson3)研究计划极具应用潜力，目前已完成焦平面编码等技术可行性的实验验证.在国内，自2009年973计划开始资助中科院电子所、北京航空航天大学、西安电子科技大学、清华大学、上海交通大学等单位开展“稀疏微波成像”的研究[3]。
3.2压缩机器学习
在有限维的压缩感知框架中，观测向量可以看作是原始数据的一组特征，因此可以采用压缩感知理论建立压缩机器学习框架，把机器学习中典型的分类与回归问题在该框架下以更简洁的方式求解。
此外，Jarvis Haupt等人将压缩感知用于处理网络数据，提出了网络数据压缩感知[9].由于网络数据信息量比较大，因此可以将每个传感器节点的数据进行观测，就可以利用CS理论解决网络数据信息量比较大的问题。
4. 总结与展望
压缩感知理论利用了信号的稀疏特性，将原来基于奈奎斯特采样定理的信号采样过程转化为基于优化计算恢复信号的观测过程.本文对压缩感知理论框架的全过程进行了描述，详细阐述了压缩感知理论所涉及的关键技术，综述了国内外研究成果、存在的公开问题及最新的相关理论.尽管目前关于CS的研究非常多，但作者认为有如下几点内容可供读者参考:(1)在稀疏表示方面，低秩表示和流形结构与稀疏性有着密切联系，将其引入信号的稀疏表示有望得到更好的结果;(2)在压缩观测方面，目前的做法大都采用线性观测的方式，如果能考虑实际环境中的可能噪声，在观测时引入某些局部的非线性操作，将有望得到更加鲁棒的观测;(3)在优化重建方面，如果能联合信号的先验和稀疏性先验求解优化问题，将有望得到更好的恢复效果。
参考文献
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[2]石光明.刘丹华.高大化.刘哲.林杰.王良君..压缩感知理论及其研究进展[J].电子学报.2009年05期
[3]D
Donoho.Compressed
sensing[J].IEEE
Transactions
on
Information Theroy,2006,52(4):1289一1306.
[4]黄安民.基于感知字典的稀疏重建算法研究[D].电子科技大学.2011年
[5]王英楠.几类非对称矩阵锥分析[D].北京交通大学.2011年
[6] 刘吉英.压缩感知理论及在成像中的应用[D].国防科学技术大学.2010年
[7]古勇.压缩感知在图像处理中的研究及应用[D].华南理工大学.2011年
[8]潘榕.段继忠.刘昱.压缩感知及其在图像和视频编码中的应用[J].电视技术.2012年01期
[9]李民.基于稀疏表示的超分辨率重建和图像修复研究[D].电子科技大学.2011年
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