新人教版八年级乘法公式培优训练题及答案
一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2
要注意等式的特点：
（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；
（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．
值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．
例１ 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）． A．（a－b）（－a－b） B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b） D．（b2－a2）（－a2－b2）
解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．
例２ 运用平方差公式计算： （１）（x2－y）（－y－x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．
解：（１）（x2－y）（－y－x2）
＝（－y ＋x2）（－y－x2）
＝(－y)2－（x2）2
＝y2－x4 ；
（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ．
例３ 计算：
（１）54.52－45.52 ；
（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．
分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看作公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．
解：（１）54.52－45.52
＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5) ＝100×9 ＝900 ；
（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) =(2x2+1)2-(3x)2
=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1
二、完全平方公式： (a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2 (a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．
二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2
＝a2－2ab－b2等错误．
需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，
也可以是单项式或多项式．
例１ 利用完全平方公式计算： （１）（－3a－5）2 ； （２）（a－b＋c）2 ．
分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．
解：（１）（－3a－5）2
＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2 ＝9a2＋ 30a ＋ 25
（２）（a－b＋c）2 ＝[（a－b）＋c]2
＝（a－b）2＋ 2（a－b）c + c2 ＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2 ＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．
例２利用完全平方公式进行速算. (1)1012 (2)992
解:(1)1012 分析:将1012变形为(100+1)2原式可
=(100+1)2 利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12 =10201
解: (2)992 分析:将992变形为(100-1)2原式可
=(100-1)2 利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12 =9801
例３ 计算：
（１） 992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．
2
解：（１）99－98×100 ＝（100－１）2－98×100 ＝1002－２×100＋１－9800 ＝10000 － 200－9800＋１ ＝１；
（２）49×51－2499 ＝（50－1）（50＋１）－2499 ＝2500－1－2499
＝０．
例４ 已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．
2
分析：由前面的公式变形可以知道：a ＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．
解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10
所以
a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82－ 2× 10＝ 44 (a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－ 4× 10＝ 24 ．
三：练习
1．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (x-2y+1)(x+2y-1)
(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2
(6) (x2+x+1)(x2-x+1)
解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1.
(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25) =9x2+12x+4-9x2+30x-25 =42x-21
解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7 =42x-21.
(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)] =x2-(2y-1)2 =x2-(4y2-4y+1) =x2-4y2+4y-1
(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2 =(4x2-9y2)2
=16x4-72x2y2+81y4
(3)
(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2 =(-x+5)2 =x2-10x+25
(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x] =(x2+1)2-x2 =(x4+2x2+1) -x2 =x4+x2+1
2．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a2+b2 ； 解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab =52-4×3 =13
(2) a2+b2=(a+b)2-2ab =52-2×3 =19.
乘法公式 平方差公式
考点扫描:
熟练掌握平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．
名师精讲:
1．平方差公式：(a+b）(a–b)=a2–b2．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘，而右边正好是这两个数的平方差．
2．平方差公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
中考典例:
1．（湖北武汉）观察下列各式(x–1)(x+1)=x2–1,(x–1)(x2+x+1)=x3–1，(x–1)(x3+x2+x+1)=x4–1，根据前面各式的规律可得(x–1)(xn+xn–1+…+x+1)=___________．
考点：平方差公式的延伸
评析：该题是一个探索规律性的试题，要通过观察把握住给出的等式中的不