2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）已知极限limx?arctanxx?0xk?c，其中c,k为常数，且c?0，则（ ）
（A）k?2,c??112 （B）k?2,c?2
（C）k?3,c??113 （D）k?3,c?3
（2）曲面x2?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为（ ） （A）x?y?z??2 （B）x?y?z?2 （C）x?2y?z??3 （D）x?y?z?0
（3）设f(x)?x?12，b1?n?2?0f(x)sinn?xdx(n?1,2,...)，令S(x)??bsninnx?，则S(?9)?（ n?14（A）
34 （B）14 （C）?14 （D）?34 （4）设l2y2?1,l2222l221:x?2:x?y?2,l3:x?2y?2,4:2x?y?2,为四条逆时针的平面曲线，I??y3)dx?(2x?x3记i??(y)dy(i?1,2,3,4)，则MAX(Ii)?( ) li63（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I3 （5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则( ) （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??（6）矩阵??aba??与?200??0b0?
?相似的充分必要条件为( )
??1a1????
000?
?（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2,b为任意常数
1
）
天行健，君子自强不息
（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),
Pj?P{?2?Xj?2}(j?1,2,3),则（ ）
（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P1?P2 （D）P1?P3?P2
（8）设随机变量X~t(n),Y~F(1,n),给定a(0?a?0.5),常数c满足P{X?c}?a,则P{Y?c2}?（ ） （A）? （B）1?? （C）2? （D）1?2?
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
(9)设函数f(x)由方程y?x?ex(1?y)确定，则limn(f()?1)? ．
n??1n(10)已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解， 该方程的通解为y? ．
?x?sintd2y(11)设?（t为参数），则2dx?y?tsint?cost(12)
t??4? ．
???1lnxdx? ． 2(1?x)（13）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零，则P{Y?a?1|Y?a}?________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）计算
（16）（本题满分10分）设数列{an}满足条件：a01?0f(x)xdx,其中f(x)??ln(t?1)dt
1tx?3,a1?1,an?2?n(n?1)an?0(n?2),
S(x)是幂级数?anxn的和函数，
n?0?（Ⅰ）证明：S??(x)?S(x)?0, （Ⅱ） 求S(x)的表达式.
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（17）（本题满分10分）求函数
（18）（本题满分10分）设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数，且f(1)?1,证明： （Ⅰ）存在??(0,1),使得f'(?)?1； （Ⅱ）存在????1,1?，使得
（19）（本题满分10分）设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到
曲面?,?与平面z?0,z?2所围成的立体为?， （Ⅰ）求曲面?的方程 （Ⅱ）求?的形心坐标.
x3x?yf(x,y)?(y?)e的极值.
3f''(?)?f'(?)?1
?1a??01?（20）（本题满分11分）设A?? ?,B???，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，
101b????并求所有矩阵C.
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天行健，君子自强不息
（21）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，
22?a1??b1???????a,??记?2??b2?.
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；
22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1. ?y2
（22）（本题满分11分）
?12?xf(x)?设随机变量的概率密度为?4??0?2x?1?0?x?3Y??x1?x?2, ，令随机变量
?1x?2其他?（I）求Y的分布函数； （II）求概率P{X?Y}
??2???3ex,x?0,（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为f?x???x其中?为未知参数且大于零，
?0,其它.?
X1,X2，?XN为来自总体X的简单随机样本.
（1）求?的矩估计量； （2）求?的最大似然估计量.
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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、选择题：
113x?(x?x3?o(x3))xx?arctanx133（1）【答案】D【解析】lim ?lim?lim?c,?k?3,c?x?0x?0x?0xkxkxk3（2）【答案】A【解析】设F(x,y,z)?x2?cos(xy)?yz?x，
则Fx(x,y,z)?2x?ysin(xy)?1?Fx(0,1,?1)?1；
Fy(x,y,z)??xsin(xy)?z?Fy(0,1,?1)??1；Fz(x,y,z)?y?Fz(0,1,?1)?1，
所以该曲面在点(0,1,?1)处的切平面方程为x?(y?1)?(z?1)?0，化简得x?y?z??2.
?1x?,0?x?1?2?（3）【答案】C【解析】根据题意，将函数在[?1,1]上奇延拓f(x)??，
???x?1,?1?x?0?2?它的傅里叶级数为S(x)它是以2为周期的，则当x?(?1,1)且f(x)在x处连续时，S(x)?f(x)， 因此，S(?)?S(?9491111?2)?S(?)??S()??f()??. 44444y3x3y22（4）【答案】D【解析】Ii??(y?)dx?(2x?)dy(i?1,2,3,4)???(1?x?)dxdy ?632liDi利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域D1,D4上函数为正值，则区域大，积分大，所以I4?I1，在D4之外函数值为负，因此I4?I2,I4?I3，故选D。
（5）【答案】（B）【解析】由C?AB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故
A?CB?1，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，根据向量组等价的定义知选项为（B）.
?1a1???（6）【答案】(B)【解析】由于?aba?为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，
?1a1????1a1??200??1a1???????
从而?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为?aba?的特征值为2,b,0.
?1a1??000??1a1?????????1又?E?A??a?a?1?a??[(??b)(??2)?2a2]，从而a?0,b为任意常数. ??15
??b?a?1