天行健，君子自强不息
22（7）【答案】（A）【解析】由X1?N?0,1?,X2?N0,2,X3?N5,3知，
????p1?P??2?X1?2??P?X1?2??2??2??1，
p2?P??2?X2?2??P?X2?2??2??1??1，故p1?p2.
2由根据X3?N5,3及概率密度的对称性知，p1?p2?p3，故选（A）
??（8）【答案】（C）【解析】由X~t(n),Y~F(1,n)得，Y?X，
222故PY?c?PX?c?P?X??c或X?c??2a.
2????
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)． ．．．(9)【答案】1【解析】limn(f()?1)?limn??x?01nf(x)?1?f?(0) x 由y?x?ex(1?y)，当x?0时，y?1， 方程两边取对数ln(y?x)?x(1?y) 两边同时对x求导，得
1?y??1??(1?y)?xy?，将x?0，y?1代入上式，得f?(0)?1 y?x(10)【答案】y?C1e3x?C2ex?xe2x【解析】因y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x是非齐次线性线性微分
方程的解，则y1?y2?e3x?ex是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为yp?C1e?C2e，因此该方程的通解可写为y?C1e3x?C2ex?xe2x (11)【答案】2【解析】3xxdydxdytcost?sint?tcost?sint?tcost,?cost， ??t， dtdtdxcostd(
dy)22ddx?1，所以dy1，所以y?dtdx2dx2costt??4?2 1dx
x(1?x)(12)【答案】ln2【解析】
???1??lnx1lnxdx??lnxd()???1(1?x)21?x1?x??1????1??1???1???111?x??dx????dx?[lnx?ln(1?x)]?ln1?1x(1?x)1?x?x1?x?T*?ln2
A??A （13）【答案】?1【解析】由aij?Aij?0可知， 6
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
A?ai1Ai1?ai2Ai2?ai3Ai3?a1jA1j?a2jA2j?a3jA3j2???a???aij?02ijj?1i?133
2从而有A?AT??A*??A,故A=-1. 2（14）【答案】2e【解析】由X?N?0,1?及随机变量函数的期望公式知
E?Xe
2X???????xe2x1?x21edx?2?2?2?????xe12?????x?2??4??2?dx?2e2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
1?0f(x)dx??0xx（15）（本题满分10分）【解析】
?10ln(t?1)dt111ln(t?1)tdx???dx?dt
0xtxx1ln(t?1)1ln(t?1)ln(t?1)1???dt??dx??2??tdt??2?dt
0000ttxt1t?1t?1??4?ln(t?1)dt??4?tln(t?1)0??dt?00t?1??11tudt??4ln2?4?2?2udu0t?10u?121u?1?11?1???4ln2?8?du??4ln2?81??du2?0?0u2?1?u?1???4ln2?4?1
??4ln2?8?u?arctanu?1)??4ln2?8?2?0??4ln2?8(1?4（16）（本题满分10分） 【解析】（I）设S(x)???axnn?0?n，S?(x)??anxnn?1?n?n?1，S?(x)??an(n?1)xnn?2?n?2?n?2，
因为an?2?n(n?1)an?0，因此S??(x)??an(n?1)xn?22n?2??an?2xn?2??anxn?S(x)；
n?0?（II）方程S??(x)?S(x)?0的特征方程为??1?0，
解得?1??1,?1?1，所以S(x)?c1e?x?c2ex，
又a0?S(0)?3?c1?c2?3，a1?S?(0)?1?c1?c2?1，
7
天行健，君子自强不息
解得c1?2,c2??1，所以S(x)?2e?x?ex.
?x3x?yx3x?y2x?y2f'?xe?(y?)e?(x+y+)e?0?42?x33（17）.【解析】?， 解得(1,?),(?1,?)，
3333?f'?ex?y?(y?x)ex?y?(1+y+x)ex?y?0y?33?x3x?yx3A?fxx''?(2x?x)e?(x?y?)e?(+2x2?2x+y)ex?y33x3x?yx32x?y2 B?fxy''?e+(x?y?)e=(+x+y+1)ex?y33x3x?yx3x?yC?fyy''?e?(1?y?)e?(+y?2)ex?y332x?y2???4233对于(1,?)点，A?3e,B?e,C?e3,??AC?B?0,A?0,
3?4?(1,?)为极小值点，极小值为?e3
31111???2233对于(?1,?)，A??e,B?e,C?e3,?=AC?B?0,不是极值.
3555（18）（本题满分10分）【解析】（1）令F(x)?f(x)?x,F(0)?f(0)?0,F(1)?f(1)?1?0,
则????0,1?使得F'(?)?0,即f'(?)?1 （2）令G(x)?ex(f'(x)?1),则G(?)?0,
又由于f(x)为奇函数，故f'(x)为偶函数，可知G(??)?0,
则??????,?????1,1?使G'(?)?0, 即e?[f'(?)?1]?e?f''(?)?0，即f''(?)?f'(?)?1 （19）（本题满分10分）【解析】（1）l过A,B两点，所以直线方程为：
x?1y?0z?0?x?1?z
?????111?y?zx2?y213?(z?)2? 所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为：x?y?(1?z)?z?2242222（2）由形心坐标计算公式可得z????zdxdydz????dxdydz??22????z(1?z)?z??dz022????(1?z)?z??dz022?7， 5 8
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
所以形心坐标为(0,0,75)
（20）（本题满分11分）【解析】由题意知矩阵C为2阶矩阵，故设C???x1x2??x3x?，则由 4????x2?ax3?0AC?CA?B可得线性方程组： ???ax1?x2?ax4?1 （1）
?x1?x3?x4?1??x2?ax3?b??0?1a00?1??10?1?11??a10a1??10?1?1?????a10a1??????01?a01?a??10?1?11??0?1a00???0?1a0??01?a0b????01?a0b???0??01?a0b????10?1?11???01?a01?a??
?00001?a???0000b?1?a??由于方程组（1）有解，故有1?a?0,b?1?a?0，即a??1,b?0,从而有
??0?1a00??10?1?11??x1?k1?k2??a10a1?????01100????1?10?1?11??0000?，故有??x2??k1x,其中k1、k2任意. 3?k?01?a0b??0???00000??1???x4?k2从而有C???k1?k2?1?k1??k1k?
2?f?(2a2222)x2222（21）（本题满分11分）【解析】(1)
1?b1)x21?(2a2?b22?(2a3?b3)x3?(4a1a2?2b1b2)x1x2?(4a1a3?b1b3)x1x3?(4a2a
3?2b2b3)x2x3?2a21?b212a1a2?b1b22a1a3?b1b3??a21a1a2a1a23??b1b1b2b则f矩阵为??2a1a2?b1b22a222?b22ab??2a3?b23??2?a1a2a22aa??1b3???b2?23??1b2b2b2b3??2a1a3?b1b32a2a3?b2b32a23?b23????a1a3a2a3a23????b1b3b2b3b23?? ?2??T???T（2）令A=2??T???T,则A??2??T????T??2?,A??2??T????T???，
则1,2均为A的特征值，又由于r(A)?r(2??T???T)?r(??T)?r(??T)?2，
故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为：2y21?y22.
9
天行健，君子自强不息
（22）（本题满分11分）【解析】（1）FY?y??P?Y?y? 由Y的概率分布知，当y?1时，FY?y??0；
当y?2时，FY?y??1；
当1?y?2时，FY?y??P?Y?y??P{Y?1}?P{1?Y?y}?P{Y?1}?P{1?X?y} =P{X?2}?P{1?X?y}??3129x2dx??y119x2dx?127(y3?18) (2) P{X?Y}?P{X?Y,X?1}?P{X?Y,1?X?2}?P{X?Y,X?2}?827
2（23）（本题满分11分）【解析】(1)EX??????xf(x)dx????0x?e??xdx?????e??xd(??x30x)??， 令EX?X，故?矩估计量为X.
n?n?2???2nni(2)L(?)??f(x??i;?)??x3ei0?????1??xi?3exxi?0i?1xi?1?i?1xii
?0其他??0其他n当xi?0时，lnL(?)?2nln??3?lnxi??n1i?1?i?1x idlnL(?)2nn令d?????1?0，
i?1xi得??2n?2n?n1，所以得?极大似然估计量?=n.
i?1x?1ii?1xi
10