另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：
于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，所以称为平面应力问题。
1.4.2空间应力问题
空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式。
力学解决的是在外力作用下结构的响应，即求内力与变形； 力学需要解决三方面的问题：(1)材料本构关系，它解决的是应力与应变之间的关系，对于弹性力学而言是线弹性的，满足虎克定律；二维平面应力与平面应变的本构(物理)方程是三维块体的特殊形式；(2)几何关系：应变与位移之间的关系；(3)平衡方程：内外力之间的平衡关系。如何建立外力与变形的关系，如下可知： 外力<=[平衡]=>内力<=[本构]=>应变<=[几何]=>变形 ，为了消除刚体位
移，还要引入边界条件，至此弹性力学问题变成了数学的偏微分方程，但直接求解还是有相当难度的；半解析法还是需要一些力学分析。 弹性力学有大部分内容是涉及求解的，如平面应力(变)、轴对称、空间问题讲的都是解法。
2、有限元基本理论
2.1有限元法的概念
有限元法是把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构。可以说，有限元法的实质就是先化整为零、再积零为整的方法。
有限元分析（FEA）是以计算机为工具的数值计算分析方法，是CAE的重要组成部分，CAE的应用首先是从有限元分析开始的。
有限元法是一种数值离散化方法，根据变分原理进行数值求解。有限元法的基本思想是：在对整体结构进行结构分析和受力分析的基础上，对结构加以简化，利用离散化方法把简化后的连续结构看成是由许多有限大小、彼此只在有限个节点处相连接的有限单元的组体。然后，从单元分析入手，先建立每个单元的刚度方程，再通过组合各单元，得到整体结构的平衡方程组（也称总体刚度方程），最终引入边界条件并对平衡方程组进行求解，便可得到问题的数值近似解。
2.2有限元法的基本思想
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的数值计算方法。
从数学角度看，有限元分析方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，利用计算机求解的方法。
有限元法的基础：结构离散和分片插值。
基本思想：将连续体看成是有限个部分（有限元）的集合体，其性态由有限个参数所规定，在求解离散有限元的集合体时，其有限单元应满足连续体所遵循的规则。
有限元法是将连续体的结构模型分解成数目有限的小单元（有限元）。有限元彼此之间通过有限个结点互相联结，在各结点上引入等效力代替作用在单元上的外力，通过计算这些单元阵点力和位移之间的关系来解决连续体的力学问题。
有限元法的实质是将无限个自由度的连续体理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使复杂问题简化为适合于数值解法的结构型问题。
2.3有限元法的基本步骤
有限元法的分析过程可以概括为以下七个步骤： （１）结构的离散化 （２）选择位移模式
（３）分析单元力学特性，建立单元刚度矩阵
（４）集合所有的平衡方程，建立整个结构的平衡方程 （５）边界条件处理
（６）求解未知节点位移、计算单元应力 （７）整理计算结果，作可视化处理
2.4有限元法的优点
（１）浅显易懂，可通过非常直观+的物理解释来理解，也可以建立基于严格数学分析的理论。
（２）有很强的适用性，运用范围十分广泛。几乎适用于所有的连续介质和场问题，如应力分析中的非匀质材料、各向异性材料、非线形本构关系以及复杂边界条件问题，热导体、流体力学及电磁场问题。
（３）可以采用矩阵表达，便于编制计算机程序。
2.5单元类型选择的基本原则
所选单元类型应对结构的几何形状有良好的逼近程度。 要真实地反映分析对象的工作状态。 根据计算精度的要求，并考虑计算工作量的大小，适当选用线性或高次单元。 杆状单元：一般把截面尺寸远小于其轴向尺寸的构件称为杆状构件。杆状构件通常用杆状单元来描述。一般还应分为杆单元和梁单元两种形式。
A． 杆单元有两个节点，每个节点仅有一个轴向自由度，因而它只能承受轴向拉压载荷。常见的铰接垳架，通常就使用这种单元来处理。
B． 平面梁单元也只有两个节点，每个节点在图示平面内具有三个自由度，即横向自由度、轴向自由度和转动自由度，该单元可以承受弯矩切向力和轴向力。
空间梁单元实际是平面梁单元向空间的推广。因而单元的每个节点具有六个自由度，当梁截面的高度大于1/5长度时，一般要考虑剪切应变对挠度的影响，
通常的方法是对梁单元的刚度矩阵进行修正。
薄板构件一般是指厚度远小于其轮廓尺寸的构件。薄板单元主要用于薄板构件的处理，按其承载能力又可分为平面单元、弯曲单元和薄壳单元三种。常用的平面单元有三角形单元和矩形单元两种，它们分别有三个和四个节点，每个节点有两个面内平动自由度，这类单元不能承受弯曲载荷。薄板弯曲单元主要承受横向载荷和绕两个水平轴的弯矩，它也有三角形和矩形两种单元形式，分别具有三个和四个节点，每个节点都有一个横向自由度和两个转动自由度。薄壳单元实际上是平面单元和薄板弯曲单元的组合，它的每个节点既可承受面内的作用力，又可承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。比较接近实际。
多面体单元：是平面单元的推广。属于三维单元，分别有4个和8个节点，每个节点有三个沿坐标轴方向的自由度。多面体单元可用于对三维实体结构的有限元分析。
等参单元：在有限元法中，单元内任意一点的位移是用节点位移进行产值求得的，其位移插值函数一般称为形函数。如果单元内任一点的坐标值也用同一形函数，按节点坐标进行插值来描述，那么这种单元就称为等参单元。优点：它可用于模拟任意曲线或曲面边界，其分析计算的精度较高。
2.6 CAE软件工程分析过程
应用CAE软件对工程或产品进行性能分析和模拟时，一般要经历如下过程： 前处理：应用图形软件对工程或产品进行实体建模，进而建立有限元分析模型。
有限元分析：针对有限元模型进行单元分析、有限元系统组装、有限元系统求解以及有限元结果生成。
后处理：根据工程或产品模型与设计要求，对有限元分析结果进行用户所要求的加工、检查，并以图形方式提供给用户，辅助用户判定计算结果与设计方案的合理性。
2.7有限元分析的应用领域
（１）机构振动的有限元分析（模态分析、瞬态动力学分析、简谐响应分析、随机谱分析等）
（２）弹塑性问题的有限元分析（涉及屈服准则、塑性流动法则、塑性强化准则等）
（３）传热与热应力问题的有限元分析
?5?三、总结
有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展，它的基本思路就是将复杂的结构看成有限个单元仅在结点处连接的整体，首先对每一个单元分析其特性，建立相关物理量之间的相互联系。然后，依据单元之间的联系，再将各单元组装成整体，从而获得整体特性方程，再应用方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。这种先“化整为零”，然后再“集零为整”和“化未知未已知”的研究方法，是有普遍意义的。
有限元法是目前工程分析系统中使用最多、分析计算能力最强、应用领域最
?6?
广的一种方法。有限元法是一种数值近似解法, 可以处理任意复杂的产品结构, 且计算精度高。简单地讲, 有限元法是将所要计算的复杂结构划分为有限的许多有规则的小块, 称为单元。每个单元都有易于计算的简单形状, 如矩形、三角形等。单元之间通过有限个节点相互连接。系统对每个单元都建立单元刚度方程, 并建立结构总体的刚度方程。由结构的边界条件进行求解, 得出结构中各个位置的参数值。有限元法的应用领非常广, 如应力、位移、机械载荷、惯性力计算温度荷载、传热分析动力计算中的模态、频率响应、随机响应计算等各种非线形分析、疲劳分析、流体力学分析、电磁场分析等。
进行有限元计算主要包括建立几何模型、划分单元网格、计算、结果显示等几个步骤。进行有限元计算所采用的几何模型通常不用于实际的产品结构。因为实际的产品结构中有许多性能没有多大影响的复杂细节结构, 如圆角、连接孔等。而这些结构在有限元计算中却非常复杂, 需要占用大量的时间进行计算。因此, 在进行有限计算时,需要根据产品的结构、工作特点、求解内容等因素,建立有限元计算的几何模型。这种模型形式上可能与实际的产品结构有很大的差异, 但在性能和工作特性上能保持与所设计产品的等同性。可以采用三维造型的实体模型, 通过简化抽象建立有限元分析的几何模型。当然, 这种模型的简化、抽象, 需要一定的计算、设计经验, 才能保证简化的模型能反映实际的产品性能。
在建立几何模型的同时还需要设置模型的材料特性, 如各向同性, 各向异性等, 并通过材料特性表来表示模型中各个位置的特性参数。选择单元类型, 进行结构的单元网格划分是由前置处理器完成的。需要根据计类型和产品结构采用不同类型的单元。通常的单元类型包括杆单元、梁单元、板单元, 多面体单元、薄壳单元等。不同的分析系统所提供的单元类型不同。单元网格划分是由系统自动完成的。根据所选的单元类型, 系统自动根据结构形状进行网格划分。一些系统具有自适应网格划分功能, 即对结构复杂或载集中的局部能够自动采用适合的单元形状和大小进行自适网格细化, 以提高计算的精度。在网格划分过程中用户可以进行结构和网格更改、调整网格密度等工作, 使计算的结果更加精确。在进行求解前还需要根据实际的工作状态设置模型的边界条件, 包括载荷条件和位移约束条件。有限元计算的结果通过后置处理程序进行显示, 以表达在各个位置节点的计算结果。如采用不同颜色的区域表示。[8]
CAE 技术在发达国家已达到了较为成熟的阶段，工业化应用已相当普遍。但是在我国CAE 技术还有待进一步开发，应用程度还较低。我国的工业界要想在激烈的国际市场竞争中占有一席之地，就必须跟上现代科学技术的发展，对CAE 技术予以足够的重视。在未来，CAE 技术水平的提高将对增强我国工业界的市场竞争能力，发展国民经济发挥重要作用。
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四、心得体会
当今社会，科技的发展突飞猛进，机械设计领域也发生了深刻的变化。计算机技术的快速发展和普及，直接渗透到平面设计的全过程，而且也成为了工程分析中必不可少的有力工具。CAD、CAM、CAE、CAPP的相继出现，计算机毫无争议地成为了工程设计和工程分析中的智能利器。计算机的智能、高效、精确，发挥着人不可替代的角色，如今，没有人再质疑计算机辅助设计的重要性了。
通过自学了弹性力学和有限元基本理论后，使我对对有限元分析的产生、发展及运用有了更深入的理解，明白了有限元分析方法的基本思想和步骤，学会了利用ANSYS软件进行简单模型的有限元分析。通过ANSYS软件进行有限元分析，能让我们直观明了地观察到模型内部的应力和应变情况，便于我们改进设计和解决相关的工程问题。可见，有限元分析是工程分析中的一个强大而实用的方法。我觉得《计算机辅助工程分析》这门课对一个机械设计模块的工科生来说是十分实用的，也是必须牢靠掌握的专业知识，它将让我们在以后的工作中受益匪浅。
学习有限单元法当然首先要掌握其基本原理，但更重要的是学会如何应用，毕竟“纸上得来终觉浅”，学以致用才是最重要的。这就必须掌握以下两方面的知识：如何建模，如何判断计算结果正确与否及如何利用计算结果。此外，谈到应用自然涉及软件操作，我们应该在学习原理的同时结合具体软件（如ANSYS、NASTRAN、SAP等）加以强化，逐步学会具体的应用。
作为一名21世纪的工科生，我们理应掌握扎实的理论知识，又要提高自己的动手能力，认真学习各种专业技能，熟练操作各种工程软件，才能在以后的工作中灵活利用，高效准确地解决各类工程问题，最终才能成为一名合格的工程师。
参考文献
[1]曾攀，等.有限元分析及应用.清华大学出版社, 2004, P5
[2]Saeed Moaveni著 王崧等译,有限元分析——ANSYS理论与应用.电子工业出版社， 2008, P4
[3]薛强，等.弹性力学.北京大学出版社, 2006, P1
[4]米海珍，李春燕等.弹性力学.重庆大学出版社, 2001, P2-5 [5]曾攀，等.有限元分析及应用.清华大学出版社, 2004, P298-355
[6]王焕定,焦兆平等.有限单元法基础（第2版）.高等教育出版社, 2010, P1 [7]黄国权,等.有限元法基础及ANSYS应用.机械工业出版社, 2004, P115 [8]杨骊先编著. 弹性力学及有限单元法..杭州：浙江大学出版社，2002.P3