阿基米德与圆周长圆面积
Bill Casselman
关键词： 阿基米德定理，欧几里得几何，圆面积，直角三角形面积，正多边形
阿基米德的论文《圆的测定》虽然常被引用，但我估计很少有人真正阅读过。今天人们最熟悉的莫过于用足够多边数的正多边形去逼近圆周率π的方法，以及为此而发展出来的递归法。递归法曾世界流传，在人们熟悉用级数表示π之前，这是人们用来计算圆周率的唯一有效方法。阿基米德的程序与常见描述并不完全一致。就我所知，用现代语言对此最好的介绍是π unleashed一书[2]。
然而，阿基米德的论文有许多细微之处似乎还未获得广泛的理解。原因之一在于他的算法是在古希腊通用的笨拙系统中完成的，该系统包含了来自古埃及奇怪的分数处理方法[i]。另一导致阿基米德的论文难读的原因是当时没有代数学为其所用。这一点已经引起了许多注解，但在本专题中我将讨论更为基本的数学问题。
阿基米德定理的内容
阿基米德的论文由两部分组成。第一部分是圆面积与其周长之间关系的论断及其证明。在第二部分中作者应用前一部分证明过程中所奠定的技术来逼近圆周率。虽然第二部分内容最引人关注，但我将只考虑第一部分的内容。
我们现有的《圆的测定》版本中，开篇断言：
任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。
粗略地说，该定理成立是因为我们可以将圆与三角形都分别剖分为面积很接近的小区域。
现存版本中，该定理的证明紧随其论断之后。下面我将概述其证明，略加解释，并再附一些图片。其基本思路几乎与证明欧几里得XII.2[ii]相同。按照现代语言，欧几里得XII.2称圆面积正比于其半径的平方。在欧几里得的证明中，圆面积的上、下界分别为边数渐增的外切、内接正多边形的面积，而阿基米德的证明中，圆周长也有类似的上下界。阿基米德与欧几里得的证明有所重叠并不奇怪，因为欧几里得XII.2是阿基米德定理的直接推论。
定理的论述本身也是有趣的。用代数语言来描述，圆面积为πr2，圆周长为2πr。这与阿基米德所称一致：
πr2=12?r?2πr.
但是古希腊人没有代数学，也没有我们现在所用的实数概念。对欧几里得而言，π没有任何意义。事实上，阿基米德的一个创新即在于其与现代想法很接近的思想。注意到希腊人用量之比，他们的所有“公式”都是如此，总是断言两个面积相等。一个典型的例子是，他们不说平行四边形的面积等于底乘高，而是说平行四边形与同底等高的矩形有相同的面积。
阿基米德的论证与其它应用穷竭法的论证思路相同，即展开一个可能无穷的过程，直到某些事情发生而终止。（穷竭法来自希腊，但这个术语是几百年之后的欧洲人提出来的。）阿基米德将此技术的发明权含蓄地归功于他似乎唯一尊敬的前辈——欧克多斯(Eudoxus)。一般认为欧克多斯创造了一种极其复杂的方式，依此而使得欧几里得能证明可能涉及不可比数[iii]的结果。穷竭法和“比”的理论是古希腊数学中两个最微妙的部分。好几个世纪里，它们是古希腊数学严密性的试金石。但应用它们却相当困难，因为一般而言每一个问题都需要不同的处理技巧。虽然复杂，希腊人的这套绝技一直独霸到十九世纪初期，直到柯西引入他的代数不等式开启现代数学推理的新时代。
阿基米德定理的证明
设C为一圆，T为一三角形，其高为圆半径、底为圆周长。如同所有的穷竭法一样，接下来的证明也分为两部分。首先证明C的面积不可能大于T的面积，然后再证明它又不可能小于三角形面积。因此余下来的可能性只能是两者相等。
第一部分将证明圆的面积不比三角形的面积大。下面的论证中我们需要三个断言，其证明将延后给出。
断言1：任何圆内接多边形的面积小于C的面积。
以如下方式定义Π4,Π8等一系列圆内接多边形：Π4为圆内接正方形，Π8为平分Π4各边对应弧所得的圆内接正八边形，一般地，Π2n为将Πn各对应弧平分所得的边数为
2n的圆内接正多边形。
由断言1知Πn的面积比C的面积小。设
δn=C的面积?Πn的面积>0.
在上图中，δn即红色部分的面积。我们还要用到 断言2：δ2n<δn/2，以及
断言3：任何圆内接正多边形的面积小于前面定义的三角形T的面积。
这一点稍难证明。因为圆内接正多边形和三角形T都可被细分，如下图情形，断言3源于以下两个事实：
? 弧长PBQ大于线段PAQ， ? 线段OA短于OB。
其中第二条得自欧几里得III.2，即线段PQ位于圆内。第一条虽然从图观察很明显，但是我们将看到要相信我们之所见还有些问题。
我们先假设这三条断言为真。我们使用反证法，即假设C的面积大于T的面积：
d=C的面积?T的面积>0.
根据阿基米德原理（即欧几里得X.1），由断言2我们可取充分大的n使得δn Πn的面积 这表明 d=C的面积?T的面积 但这与n的选取矛盾。 第二部分将证明三角形的面积不比圆的面积大。在第二部分的证明中，我们还是用反证法，即假设C的面积小于T的面积来得出矛盾。这次我们将要求助外切多边形。 在这一部分中，我们设Π4为圆C的外切正方形，以及一般地从Πn出发，找到n个等分弧的中点，再作圆的n个切线，得到边数为2n的圆外切正多边形。在这种情形，Π2n严格位于Πn之内。令 δn=Πn的面积?C的面积>0. 同理可证明δ2n<δn/2。代替上页断言3的是： 断言4：T的面积小于Πn的面积。 之后的证明与第一部分很相似：从C的面积小于T的面积这个假设得出矛盾。 剩下来需验证断言1—4。其中最简单的是断言1。若我们知道由割圆线段所构造的多边形含于圆内，则该结论可从《几何原本》第一卷公理5(即“整体大于部分”)直接得到。这恰为欧几里得III.2的结论。 断言2是欧几里得证明X.2的关键，X.2称圆的面积正比于半径的平方，这在希斯版的《几何原本》中有很好的解释，因此我不再赘述。但断言3与4确实不在《几何原本》中，事实上这正是阿基米德的杰出创新。关键问题是，如何定义曲线的长度？ 什么是圆周长？ 除了线段长，欧几里得从不谈及任何其它长度。其实这是一个很困难的问题，因为平面上存在有无穷长度的连续曲线。问题可如下提出：如何比较平面上两条曲线的长度，或比较三维空间中两个曲面的面积？“在什么条件下，我们可以判断一条曲线比另一条更长或更短？”阿基米德如何处理这些问题呢？ 问题最早可能出现于阿基米德最著名的作品《论球与圆柱I》之中，其中他通过内接圆柱计算了球的面积。这比圆周长更复杂，但原理却是相似的。在《论球与圆柱I》的介绍中，他得出的两个引理正是我们这里需要的。聪明的阿基米德并未给出引理的太多细节，也没有提供证明。 阿基米德的第一个引理是两条可能的曲线最简单的比较。 引理1 两点间的直线段短于任何其它连接此两点的轨道。 第二条要更细致些。 引理2 给定两点P和Q。假设有两条从P到Q的凹轨道都处于线段PQ的同一边。若其中一条轨道处于另一条轨道和线段PQ之间，则它的长度更短。 一条连接P和Q且处于PQ一边的轨道是凹的，那么该轨道和线段PQ所围区域是凸的。就我所知，阿基米德是第一个在数学上使用凸区域概念的人。 我将稍后讨论这些引理，先看看如何从这些引理得到断言3。在本文一开始的图形中，n=4的三角形T被分割为4个小三角形，其中每一个小三角形有相同的长为弧 PBQ长的底，以及相等的高OP。然而，按照引理1，弧PBQ的长度大于PQ长，同