时，由欧几里得III.2得OB大于OA。根据对称性，由此可知断言3在此情形成立，一般情形n也可如此推理。
引理2在阿基米德定理证明的第二部分中需要使用。
接下来的问题是，阿基米德是如何证明上述引理的呢？
如何解释阿基米德的引理？
实事求是地说，据我所知，阿基米德从没在任何地方给出过即使是最轻微的提示来回答这个问题。我将提出一些他可能用过的合情推理。首先，因为我们只是寻求合情性，我们可以将问题简化，假设所考虑的轨道都是多边形。
我们先看引理1。其最简单情形即说三角形中任意一条边小于另外两条边之和，见下图中。此即欧几里得I.21，也是归纳法进行证明的基础。欧几里得在非正式基础上已经熟悉归纳法。假设我们有一由三条线段组成的、连接P与Q的多边形轨道
PP1P2P3，其中最后一个点P3是Q，见下图中。作辅助线PP2，并应用欧几里得I.21，
我们得到
PQ 这样我们可如欧几里得那样以此类推，得到引理1。 引理2更为有趣。同样，我们考虑一个简单情形：内部曲线由两条线段组成。 我们需要证明内部轨道之长小于外部轨道之长： PQ1+Q1Q 应用引理1两次我们得到 PR 由此可得到： PQ1+Q1Q<<=PQ1+Q1R+RQ=PR+RQ(PP1+P1P2+P2R)+RQPP1+P1P2+P2Q. 这就证明了内部曲线是两条线段的情形。更广泛地，比如下左图所示，我们可以对内部轨道的线段数使用归纳法。 上述证明可行是因为我们已经假设内部轨道是凹的。这可保证点R位于上方轨道 PP1P2Q的线段P2Q上，如果没有凹的假设，比如内部轨道有转折，如上右图所示， 内部轨道可能会更长，那么引理2就不成立了。 [i] 译者注：古埃及分数是不同的单位分数的和。单位分数是分子为1，分母为正 整数的分数。例如我们现在用的2/3古埃及分数表示为1/2+1/6。 [ii] 译者注：即欧几里得《几何原本》[1]第十二卷命题2，下类似。 [iii] 译者注：原文为irrational ratios，指现今所说的无理数。 [iv] 译者注：该命题称在一圆的圆周上任取两点，连接这两点的线段落在圆内。 进一步阅读资料 1. [1] 阿基米德, Sphere and cylinder I和Measurement of the circle, 由希斯（T. L. Heath）翻译。剑桥大学出 版社1897年原版, Dover出版社重印。 2. 海伯格所得的阿基米德关于圆的论文有些紊乱（希斯版译自海伯格的希腊文版）。据称阿基米德Codex中有此工 作的另一文本正由Reviel Netz（缓慢地）编辑，但我不知道其中是否与海伯格、希斯的版本有太大的差别。 3. 希斯版阿基米德作品见（http://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp）。更多关于阿基米德的作 品的链接可以在纽约大学的网页“阿基米德有关的书”中见到（http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Books/ArchimedesInternet.html）。 4. [2] J?rg Arndt 与 Christoph Haenel,π unleashed, Springer-Verlag, 2000. 5. [3] Judith Grabiner, The origins of Cauchy's rigorous calculus, MIT出版社，1981。 Dover出版社重印。这本书有助于重握柯西贡献的起始风味。 6. [4] Euclid, The Elements. Translated into English by T. L. Heath，剑桥大学出版社原版， Dover出版社重译。 这个版本的价值在于其大量注释，虽然有些陈旧。 7. [5] Otto Toeplitz, The Calculus: a genetic approach, 芝加哥大学出版社，1963。这本书来自在作者去世后发现 的一个相当完善的手稿。作为教材，这本书有点生僻，虽然这本书高度原创。开篇第一章讨论了古希腊人如何处理 无穷过程，这是很少几处讨论古希腊人如何看待极限的当代文献之一。我即是最先从此书中学习穷竭法。 8. [6] 维基百科上关于“Madhava”以及来自印度喀拉拉邦（Kerala）的数学家们发现π的级数展开的条目 ——欧阳顺湘译，2012年6月于比勒费尔德。