第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
20?481bb221abcaxyca byx?yxx?yxy（1）1?11?1； （2）b31c； （4）c2c（3）aa2.
x?y10?48解 （1）1?1?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 3?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)
=?24?8?16?4 =?4
abcaca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc b?3abc?a?b?c
333（2）bc
11bb21c?bc?ca?ab?ac?bac222222（3）aa2?cb
2?(a?b)(b?c)(c?a)
xyx?yx32x?yxy3332333（4）
yx?y
?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y?(x?y)?x
?3xy(x?y)?y?3xy?3yx?x?y?x ??2(x?y)
33
1
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；
（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
n(n?1)2：
3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
（6）逆序数为n(n?1)
3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为
t(?1)a1pa2pa3pa4p，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3
1234已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
4.计算下列各行列式：
2
?4?1?（1）?10??0??ab（3）?bd???bf12512021ac?cdcf4??2??23?； （2）??10???7??5?aae???1??de； （4）??0?ef????042c2?c31?1201b?10202142361??1?； 2??2?01c?10??0? 1??d?解
41251?123?123202141?1230?102?140(1)
110040c4?7c3107?102?1410?214c2?c3c1?12
0?(?1)4?3=1104
9017901710?2=0 14=110c3
21?1202r4?r2342361?121ac?cdcf11c4?c2224234aede?ef23150200?b1?1202310c?cc42361?12002024230ee ?e(2)
315
020012
r4?r1=0
?ab(3)bdbf=adfbb3
?11?1111=4abcdef ?1=adfbce11
a1b?1001c?12?1001d1?abac?10?100r1?ar21?abb?10c3?dc2a1c?1?10001dac?1ad1?cd 0(4)
?100?1001 d
1?ab=(?1)(?1)=(?1)(?1)
5.证明:
a23?21?ab?1ad1?cd=abcd?ab?cd?ad?1
aba?b1b2(1)2a12b=(a?b); 1ay?bzaz?bxax?by22223ax?byaz?bx33xyzxzx; y(2)ay?bzaz?bxa2222ax?by=(a?b)yay?bz2222z2222(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)(3)bcd?0; 11bbb241ccc241ddd24(4)aaa24 ?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d);
4
x0?1x?0an?10?1?0an?2?????00?xa200??1x?a12(5)?0an?x?a1xnn?1???an?1x?an. 证明 (1)左边?c2?c1c3?c13?1a2ab?ab?a02b?a222a1ab?ab?a2b?2a 0?(?1)b?a222b?2a
3?(b?a)(b?a)xayzxa2a1b?a2?(a?b)?右边
az?bxyay?bzaz?bxax?byzxyaz?bxax?by ay?bzaz?bxax?by ay?bz(2)左边按第一列分开ay?bzaz?bxax?byzax?by ?bzay?bzyx分别再分ay?bzaz?bxax?byyzxx3yzx?0?0?bzyy3xzxy2分别再分xa3zxy zyzx?bzyyzxxzx?a3yzxa2222zx?by2222yzyzx(?1)?右边 y(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)2222a?(2a?1)b?(2b?1)c?(2c?1)d?(2d?1)(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)2222(3) 左边?bcd
5