12.（本题14分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a?(1，0)，b?(0，2).设向量x?a?(1?cos?)b，
y??ka?1b，其中0???π.
sin? （1）若k?4，??π，求x?y的值； （2）若x//y，求实数k的最大值，并求取最大值时?的值.
6[来源:学#科#网]
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附加题部分
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. B.（选修4—2：矩阵与变换）
若矩阵M???a?c2??1??1属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵M的逆矩阵M. α????1??1?2??1??a?1?1??1，解得，所以?3M???1??1??21??c?2??????y??1?1，则MM??2w???解：由题意，得??a?c2?. ?1? 设M?1???x?z2??x?z1???y??1??w???00?， 1???12???122133??1 解得x??,y?,z?,w??，即M???.
3333?2?1??3??3?
C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??22cos(??平面直角坐标系，直线l的参数方程为?并说明理由.
解：将直线l与曲线C的方程化为普通方程，得直线l：4x?3y?1?0，曲线C：x 所以曲线C是以(1,1)为圆心，半径为2?4)，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立
?x??1?3t（t为参数），试判断直线l与曲线C的位置关系，
y??1?4t??y2?2x?2y?0，
2的圆，所以圆心到直线l的距离d?2?2，因此，直线l与曲线C相交. 5
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22．（本题10分）如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O，OA?4， OB?3，OP?4，OP?底面ABCD，设点M满足PM??MC(??0).
??????????
1
时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；2
?（2）若二面角M?AB?C的大小为，求?的值.
4（1）当??
解：（1）以O为坐标原点，建立坐标系O?[来源学§科§网Z§X§X§K]
PMDOABCABP，则A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(?4,0,0)，D(0,?3,0)，P(0,0,4)，
????????????481
所以PA?(4,0,?4)，DB?(0,6,0)，AB?(?4,3,0).当??时，得M(?,0,)，
332
?6y?0????4?8? 所以MB?(,3,?)，设平面BDM的法向量n?(x,y,z)，则?4，得y?0， 833x?3y?z?0?3?3? 令x?2，则z?1，所以平面BDM的一个法向量n?(2,0,1)，
?????10410 所以cosPA,n?，即直线PA与平面BDM所成角的正弦值. ?1042?510??（2）易知平面ABC的一个法向量n1?(0,0,1).
?????????? 设M(a,0,b)，代入PM??MC，得(a,0,b?4)??(?4?a,0,?b)，
?4??a???????4?44??4?1??,0,)，所以MB?(,3,)， 解得?，即M(41??1??1??1???b??1?????4x?3y?0???? 设平面ABM的法向量n2?(x,y,z)，则?4?， 消去y，得(2??1)x?z， 4x?3y?z?0?1???1?????44
x?1z?2??1n 令，则，y?， 所以平面ABM的一个法向量2?(1,,2??1)，
33 所以
2?22??1141，解得??或?，因为??0，所以??.
333161??(2??1)29
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23．（本小题满分10分）
123n设F(n)?a1?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)nan?1Cn(n?2,n?N*).
（1）若数列?an?的各项均为1，求证：F(n)?0；
（2）若对任意大于等于2的正整数n，都有F(n)?0恒成立，试证明数列?an?是等差数列.
0123n解：（1）因数列?an?满足各项为1，即F(n)?Cn， ?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn012233nn 由(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?Cnx???Cnx，令x??1， 0123n 则0?Cn，即F(n)?0. ?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn12（2）当n?2时，F(2)?a1?a2C2?a3C2?0，即2a2?a1?a3，所以数列?an?的前3项成等差数列.
13假设当n?k时，由F(k)?a1?a2Ck?a3Ck2?a4Ck???(?1)kak+1Ckk?0，
可得数列?an?的前k+1项成等差数列，
因对任意大于等于2的正整数n，都有F(n)?0恒成立，所以F(k+1)?0成立，
123kk??a1?a2Ck?a3Ck?a4Ck???(?1)ak+1Ck?0 所以?， 123k+1k+1??a1?a2Ck+1?a3Ck+1?a4Ck+1???(?1)ak?2Ck+1?01122+1 两式相减得，?a2(Ck)kak+1(Ckk+1?Ckk)?(?1)k+1ak+2Ckk+1?0， +1?Ck)?a3(Ck+1?Ck)???(?1m?1m?1m01 因Cn，所以?a2Ck?Cn?a3Ck?a4Ck2???(?1)kak+1Ckk?1?(?1)k+1ak?2Ckk?0， ?1?Cn01 即a2Ck?a3Ck?a4Ck2???(?1)k?1ak+1Ckk?1?(?1)kak?2Ckk?0，
由假设可知a2,a3,a4,?,ak+1,ak?2也成等差数列，从而数列?an?的前k?2项成等差数列. 综上所述，若F(n)?0对任意n?3恒成立，则数列?an?是等差数列.
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