数学（理科）试题参考答案
2015年温州市高三第一次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2015.2
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 D 二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分. 9．2；(0,1)． 10．4；?28． 11．14?；21??20． 12．
127；x2?2y?1?0． 13．[?,2]． 14．． 15．(?1.2]． 432三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题15分）解法一：（I）由sinA?2sinB?a?2b．…………………1分 又∵a?b?2，∴a?4,b?2． ………………………………………………2分
a2?c2?b242?42?227cosB???． …………………………………4分
2ac2?4?4815?7?sinB?1?cosB?1????．……………………………………5分
8?8?221115acsinB??4?4??15．………………………………7分 228b2?c2?a222?42?421??．……………………………9分 （II）cosA?2bc2?2?44∴S?ABC?15?1?sinA?1?cosA?1????． ………………………………10分
4?4?2211515．………………………………11分 sin2A?2sinAcosA?2???4487cos2A?cos2A?sin2A??．………………………………………………13分
8∴sin(2A?B)?sin2AcosB?cos2AsinB…………………………………14分
157?7?15715．…………………………………………15分 ???????88?8?832解法二：（I）由sinA?2sinB?a?2b． …………………………………1分 ?又∵a?b?2，∴a?4,b?2． ……………………………………………2分 又c?4，可知△ABC为等腰三角形． ………………………………………3分
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数学（理科）试题参考答案
?b?22作BD?AC于D，则BD?c????4?1?15． …………5分
?2?11∴S?ABC??AC?BD??2?15?15．……………………………7分
22a2?c2?b242?42?227??．…………………………9分 （II）cosB?2ac2?4?482215?7?sinB?1?cosB?1????．…………………………………10分
8?8?由（I）知A?C?2A?B???2B．……………………………………11分
22∴sin(2A?B)?sin(??2B)＝sin2B………………………………………13分
?2sinBcosB ………………………………………………………………14分
157715． ……………………………………………………15分 ??883217．（本题15分）（I）证明（方法一）：∵?ABD??CBD，AB?BC，BD?BD． ∴?ABD??CBD． ∴AD?CD．………………………2分 取AC的中点E，连结BE,DE，则BE?AC，DE?AC． ?2?………………………………………………………………3分 又∵BE?DE?E， ……………………………………4分 BE?平面BED，BD?平面BED，
∴AC?平面BED， ……………………………………5分 ∴AC?BD ………………………………………………6分 （方法二）：过C作CH⊥BD于点H．连接AH．…1分 ∵?ABD??CBD，AB?BC，BD?BD．
∴?ABD??CBD．∴ AH⊥BD．…………………3分 又∵AH?CH?H，……………………………………4分 AH?平面ACH，CH?平面ACH，
∴BD⊥平面ACH．……………………………………5分 又∵AC?平面ACH，
∴AC?BD．……………………………………………6分 （方法三）：AC?BD?(BC?BA)?BD………………2分
?BC?BD?BA?BD ………………………………3分 ?BC?BDcos?CBD?BA?BDcos?ABD………4分
?2BDcos60??2BDcos60??0，……………………5分 ∴AC?BD．……………………………………………6分 （II）解（方法一）：过C作CH⊥BD于点H．则CH?平面BCD， 又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD?平面BCD＝BD， ∴CH⊥平面ABD． ……………………………………8分 过H做HK⊥AD于点K，连接CK． ………………9分
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∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK?CH?H， ∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．…………………10分 ∴?CKH为二面角C?AD?B的平面角． …………11分 连接AH．∵?ABD??CBD，∴ AH⊥BD．
?∵?ABD??CBD?60，AB?BC?2，
53，∴DH?． ………12分 2221AH?DH37∴AD? ∴HK?．…………………………13分 ?2AD7CH21∴tan?CKH?，…………………………………………14分 ?HK330∴cos?CKH?．
1030∴二面角C?AD?B的余弦值为．………………………………15分
10（方法二）：由（I）过A作AH⊥BD于点H，连接CH ∵?ABD??CBD，∴ CH⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AH⊥CH．…………………………7分 分别以HC,HD,HA为x,y,z轴建立空间直角坐标系．………………8分
∴AH?CH?3，BH?1．∵BD??∵?ABD??CBD?60，AB?BC?2，
∴AH?CH?3，BH?1．
53∵BD?，∴DH?．………………………………9分
223?A(0,0,3),C(3,0,0),B(0,?1,0),D(0,,0)．…10分
23可得AC?(3,0,?3)，CD?(?3,,0)．………11分
2设平面ACD的法向量为n?(x,y,z)，
?n?AC?3x?3z?0?则?，取y?2， 3n?CD??3x?y?0?2?得一个n?(3,2,3)．……………………………………………………12分 取平面ABD的法向量为m?(1,0,0)．……………………………………13分
cosn,m?n?m|n||m|?310?30．……………………………………14分 10∴二面角C?AD?B的余弦值为30．…………………………………15分 10
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18．（本题15分）解：（I）由椭圆的下顶点为B(0,?1)知b?1． ………1分
由B到焦点的距离为2知a?2．………………………………………2分
x2?y2?1．……………………………………3分 所以椭圆C的方程为4设Q(x,y)，BQ?x2?(y?1)2 ……………………………………4分
116?4(1?y2)?(y?1)2??3(y?)2?(?1?y?1)．……………5分
33143时，BQmax?． …………………………………………6分 33（II）由题设可知l的斜率必存在．………………………………………………7分
由于l过点P(0,2)，可设l方程为y?kx?2．……………………………8分
∴当y?
x2?y2?1联立消去y得(1?4k2)x2?16kx?12?0．……………9分 与432其??(16k)2?48(1?4k2)?16(4k2?3)?0?k?．（*）……10分
4设M(x1y1),N(x2,y2)，则x1,2解法一：S?BMN??16k?44k2?3．………………11分 ?22(1?4k)1x1?x2?BP…………………………………………12分 264k2?36??． ………………………………………………………13分
51?4k232解法二：MN?x1?x21?k，B到l的距离d?．
21?k1S?BMN??MN?d
23?x1?x2 ………………………………………………………………12分 264k2?36??． ………………………………………………………13分 251?4k1922解得k?1或k?均符合（*）式．…………………………………14分
419∴k??1或k??．
2所求l方程为?x?y?2?0与?19x?2y?4?0．………………15分
an?na?1a2?2?????n?1．① 19．（本题15分）（I）解：由121?122?12n?1
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an?1?(n?1)a1?1a2?2?????n．②……………2分 12n?12?12?12?1a?n?1(n?2)． ……………………………………………4分 ①－②得nn2?1n∴an?2?1?n(n?2)． ………………………………………………5分 a?1?2?a1?7．…………………………………………………………6分 又121?1当n?2时得
?7, n?1 综上得an??n．……………………………………………………7分
2?1?n, n?2?2221?n?n?n?1． ………………………10分 an2?1?n22222111??????2???n………………………………………11分 a2a3an?12221?1?n．…………………………………………………………………………13分
22221∴当n?2时，?????1?n．………………………………15分
a2a3an?121＋kx?b．……1分 20．（本题14分）（I）证明：当x?(??,?2)时，f(x)??x?2 任取x1,x2?(??,?2)，设x2?x1．……………………………………………2分
（II）证明：当n?2时，
????11???f(x1)?f(x2)????kx?b???kx?b12?x?2??x?2?
?1??2???1?(x1?x2)??k?． ……………………………………………4分
?(x1?2)(x2?2)?1由所设得x1?x2?0，?0，又k?0，
(x1?2)(x2?2)∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)．……………………………………5分 ∴f(x)在(??,?2)单调递增．……………………………………………………6分
1（II）解法一：函数f(x)有三个不同零点，即方程＋kx＋b?0有三个不同的实根．
x?2方程化为：?2 ?x??2 ?x??2 与．…7分 ?22?kx?(b?2k)x?(2b?1)?0?kx?(b?2k)x?(2b?1)?02记u(x)?kx?(b?2k)x?(2b?1)，v(x)?kx?(b?2k)x?(2b?1)． ⑴当k?0时，u(x),v(x)开口均向上．
由v(?2)??1?0知v(x)在(??,?2)有唯一零点．…………………………………8分 为满足f(x)有三个零点，u(x)在(?2,??)应有两个不同零点．
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