第十一讲比例法解行程综合
模块一、寻找时间比和速度比：
例1．每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），已知AB : BC : CD=1 : 2 : 1，并且小明在平路、上坡路、下坡路的速度比为3 : 2: 4，那么小明上学与放学回家所用的时间比是 : 。 解：时间比=路程比÷速度比， 上学与放学回家所用的时间比为(
例2．三条圆形跑道，圆心都在中心旗杆处，里圈跑道长外圈跑道长
CABD121121194??) : (??)= : =19 : 16. 32424312311千米，中圈跑道长千米，54甲乙丙3千米，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，81开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑3千米，乙每小时跑4千米、丙每
2小时跑5千米，他们同时出发，那么小时后，三人第一次同时回到出发点。 解：甲、乙、丙三人跑一圈所用的时间分别是
1121133÷3=小时、÷4=小时、÷5=小时， 5235416840213[2，1，3]=6，(35，16，40)=1，所以[，，]=6，
351640即6小时后三人第一次同时回到出发点。
模块二、综合问题：
例3．B在A、C两地之间，且A、C两地间的距离较远，甲从B地到A地去送信，甲出发10分钟后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发10分钟后，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来，已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用分钟。 解：①若丙先追赶甲，然后调头追乙：
此时甲已经走了20分钟，丙的速度是甲的速度的3倍，所以丙用10分钟追上甲；此时调头，距离乙的路程是乙走50分钟的路程，追上乙需要用25分钟的时间；再调头，此时离开甲有甲走100分钟的路程，再次追上甲用时为50分钟，此时离开B地有甲走105分钟的路程；最后回到B地用时为35分钟，一共用时为10+25+50+35=120分钟；
②若丙先追赶乙，然后调头追赶甲：
此时乙已经走了10分钟，于是丙用5分钟追上乙，此地离开甲有甲走40分钟的时间；调头追赶甲，用时为20分钟，此地与乙的距离为乙走80分钟的路程；丙再次追上乙，用时为40分钟，此地离开B地有乙走75分钟的路程；最后丙用25分钟回到B地，一共用时为5+20+40+25=90分钟；
所以最少用90分钟。
解法2：①追上甲并返回，需要20÷(3?1)×2=20分钟；
追上乙并返回，需要30÷(3?1)×2=30分钟； 再追上甲并返回，需要70÷(3?1)×2=70分钟； 共用20+30+70=120分钟. ②追上乙并返回，需要10÷(3?1)×2=10分钟；
追上甲并返回，需要30÷(3?1)×2=30分钟； 再追上乙并返回，需要(10×2+30)÷(3?1)×2=50分钟；
共用10+30+50=90分钟.
例4．甲、乙、丙三人同时从A出发匀速向B行走；甲到B后立即调头，与乙相遇在离B地100米的地方；甲再行120米与丙相遇时，乙恰好到达B，那么此时甲共行了米。
解：由题意，甲走120米的时间与乙走100米的时间相同，所以他们的速度比是6 : 5，
那么他们在相同时间情况下所走的路程的比是5 : 6，
甲比乙多走了200米，把200米看做1份，所以甲共走了1200米，而乙走了1000米。
例5．小李开车从甲地去乙地，出发2小时后，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后速度只为正常速度的75%，结果比计划晚2小时到达乙地，若车在行过B地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时，那么甲、乙两地全程长。 解：由题意，原来的速度与修车后的速度比是4 : 3，对同一段距离所用的时间比为3 : 4，
而在72千米中，第一次是用修车后的速度行驶的，第二次是用正常速度行驶的，时间相差0.5小时， 把0.5小时看做1份，所以正常速度行驶72千米用时为1.5小时， 速度为72÷1.5=48千米/小时，修车后的速度为36千米/小时，
晚了2小时，途中修车用了40分钟，剩下的80分钟是由于两个速度差造成的， 把80分钟看做1份，即后半段若用正常速度行驶需要80×3=240分钟=4小时。 所以以正常速度行驶需要2+4=6小时，甲、乙两地全程为48×6=288千米。
例6．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的圈提高了
2，甲跑第二圈时比第一311，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，那么这条35椭圆形跑道长米。
解：由题意，设甲的速度是3v，则乙的速度是2v，设跑道长为x米，
甲、乙两人第一次相遇点是在距出发点此时甲跑了的
3x点处， 532x，乙跑了x， 55221圈，即x，剩下x米， 333相遇后两人继续跑，当甲跑完一圈x时，此时乙只能跑这时甲的速度是3v×(1+
1)=4v，甲、乙的速度比是2 : 1， 312所以乙跑x米，甲跑了x米，
33111212v=5 : 3， 此时甲、乙相距x，而乙的速度是2v×(1+)=v，甲、乙此时的速度比是4v :
355513131乙继续跑了x×=x，由题意，(?)x=190，解得x=400米。
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随堂练习
1．一条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1 : 2 : 3，张叔叔骑车经过各段所用的时间之比是3 : 4 : 5，已知他在平路上骑车速度是每小时25千米，他行完全程用了多少时间？ 解：各段路程的长度之比是1 : 2 : 3，全长为60千米，所以平路为20千米，
在平路上骑车速度是每小时25千米，所以在平路上所用的时间是20÷25=又三段所用的时间之比是3 : 4 : 5，所以
4小时， 54412÷=小时。 53?4?55
2．有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米，三船同时同地同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行，多少小时后三船再次相会在一起？
解：甲、乙两船第一次相会的时间是15÷(6?5)=15小时，甲、丙两船第一次相会的时间是15÷(6?3)=5小时， 所以15小时后，三船再次相会在一起。
3．如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5 : 4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，这样当乙返回C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是多少千米？
解：由题意，AB : BC=5 : 4，BD: BC=5 : 4，所以AB=BD，
又CD=BD?BC=18，把18看做1份，则AB=BD=5×18=90，BC=4×18=72， AC=90+72=162. 3．如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度比为5 : 4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低千米的D处，，那么A、C两地之间的距离是多少千米？
解：甲、乙的速度比为5 : 4，所以AB : CB=5 :4，CD=18，
设AB=5S，CB=4S，甲、乙的速度分别是5v，4v，
则
ABCDABCD1，这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地1854S4v?45?9S184S?185S4S18??，所以?，，S=8， 4v5v5v20v5v5v所以AC=9S=72（千米）。
4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样当甲到达B地时，乙距离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米？
解：甲、乙的速度之比是5 : 4，设A、B两地的距离是9x千米，
相遇时甲走了5x千米，乙走了4x千米，相遇后甲、乙的速度比是5×(1?20%) : 4÷(1+20%)=4 : 4.8， 甲走了4x的距离，乙走了4.8x的距离，
乙离A地还有5x?4.8x=10千米，解得x=50千米。所以A、B两地的距离是9×50=450千米。
5．甲、乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍，乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的
1。排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲、乙同时到达B地，6那么A、B两地之间的距离为多少千米？
解：甲、乙的车速比是1.2: 1=6 : 5，所以所用时间比为5 : 6； 设甲用时5t，则乙原定时间为6t； 乙因故障耽误的时间为6t×=t， 而最后全程用时5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了2t的时间． 提速后的速度与原来速度比为1.6 : 1=8 : 5，所以时间比为5 : 8，节省了三份的时间， 162216t，这段路程用时为t×8=t， 33316226所以前面骑行的4千米计划用时为6t?t=t，速度为4÷t=， 3t336所以A、B两地的距离是6t×=36（千米）。 t所以每份为 解2：设全程为S，
甲、乙的车速比是1.2 : 1=6 : 5，所以开始所走的距离比为6 : 5，
当乙走了4千米时，甲走了4×=此时乙耽误了骑全程的
6524千米， 5111的时间，这段时间内，甲骑行了全程，即S， 65512414这样甲比乙多走了S+(?4)=S+千米，
5555乙提高速度之后，甲、乙的速度比是6 : 5×(1+60%)=3 : 4，
1414S+是其中一份，所以乙后来骑行4份是4×(S+)， 555514得到4×(S+)+4=S，解得S=36（千米）。
55即