听课随笔
第十一课时 函数的奇偶性（2）
【学习导航】 学习要求
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法； 2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．
【精典范例】
一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导： 例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=
1f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论
思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1 － F(x2)= 1f(x－ 1)1 f(x2)?f(x1)f(x=2)f(x符号解：任取x1， 1)?f(x2)x2∈(－∞，0)，且x1 所以f(－x2) 所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)② 由①②得f(x2)>f(x1)>0 于是F(x11) －F(x2)=f(x －1 1)f(x2)所以F(x)=1f(x)在(－∞，0)上是减函数。 【证明】 设x1?x2?0，则?x1??x2?0，∵f(x)在[0,??)上是增函数， ∴f(?x1)?f(?x2)，∵f(x)是奇函 数 ， ∴ f(?x1)??f(x1)， f(?x2)??f(x2)， ∴?f(x1)??f(x2)，∴f(x1)?f(x2)，∴f(x)在(??,0]上也是增函数． 说明：一般情况下，若要证f(x)在区间A上单调，就在区间A上设x1?x2． 二．利用函数奇偶性求函数解析式： 例2：已知f(x)是定义域为R的奇函数，当 x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式． 解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2| 所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2| 又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x) 所以－f(x)= －x|x+2| 所以f(x)=x|x+2| 故当x<0时 F(x)表达式为f(x)=x|x+2|. 3：定义在（－2，2）上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0， 求实数m的取值范围． 解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0 所以f(m－1)> －f(2m－1) 因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数 所以f(m－1)>f(1－2m) ??2?m?1?2所以???2?1?2m?2 ??m?1?1?2m所以 12 ∞)上是减函数,则f(－ 34)与f(a2－a+1) （a?R）的大小关系是 （B ） A． f(－ 34) B． f(－34)≥f(a2－a+1) C． f(－34)>f(a2－a+1) D．与a的取值无关 2. 定义在 ??1,1?上的奇函数 f?x??x?mx2?nx?1，则常数m? ０ ，n? ０ ； 3. 函数f(x)是定义在(?1，1)上的奇函数，且为增函数，若f(1?a)?f(1?a2)?0，求实数a的范围。 解：?f(x)定义域是(?1，1) ????1?1?a?1??1?1?a2?1 即??0?a?22?a?0或0?a?2 ?? ?0?a?2 又?f(1?a)?f(1?a2)?0 ?f(1?a)??f(1?a2) ?f(x)是奇函数 ?f(1?a)??f(1?a2)?f(a2?1) ?f(x)在(?1，1)上是增函数 ?1?a?a2?1 即a2?a?2?0 解之得 ?2?a?1 ?0?a?2?0?a?1 故a的取值范围是0?a?1 思维点拔： 一、函数奇偶性与函数单调性关系 若函数y?f(x)是偶函数，则该函 数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数y?f(x)是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调 性是相同的． 追踪训练 1．已知y?f(x)是偶函数，其图象与x轴共有四个交点，则方程f(x)?0的所有实数解的和是 （C） (A)4 (B)2 (C)0 (D)不能确定 2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a) A.ab C.|a|<|b| D.0≤a m?n?0）上为增函数，则它在区间[?n，?m]上（D） A. 是减函数且有最大值?f(m) B. 是减函数且有最小值?f(m) C. 是增函数且有最小值?f(m) D. 是增函数且有最大值?f(m) 4已知函数ax7 +6x5 +cx3 +dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 31 ． 5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y?R，有 f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)且f(0)?0。 （1）求证f(0)?1；（2）求证：y?f(x)是偶函数。 解（1）令x?y?0，则有2f(0)?2[f(0)]2 ?f(0)?0，?f(0)?1 （2）令x?0，则有 f(y)?f(?y)?2f(0)?f(y)?2f(y) ?f(?y)?f(y)这说明f(x)是偶函数 【师生互动】 听课随笔 学生质疑 教师释疑