D．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x，y，z?R，且x?2y?3z?8?0．求证：(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2≥14．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22．（本小题满分10分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD?1，CD?6，AD//BC，
AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点, 将△ABD沿BD折起，
使平面ABD⊥平面BCD，连接AE,AC,DE, 得到如图2所示的几何体.
（1）求异面直线AD,BC所成角的余弦值.
（2）求二面角B?AD?E的平面角的大小.
图1 图2
23. （本小题满分10分） 求证：（1）n!?(
AADDBECBECn?2nn?1n*n!?()(n?N*) 2)(n?2,n?N)；（）
62数学Ⅰ(160分)
一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．2?31．5； 2．(??,1)； 3．2； 4．充分不必要； 5．25； 6．5,8； 7.2；
23?3??1??1?8．1； 9.??,0?； 10.4； ；11．10； 12．13．?0,?14.?,1?
5； ?5??2??5?； 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）
??2已知向量a?(cos?,sin?)，b?(sin?,t)，??(0,?).
??1(1)若a?b?(,0)，求t的值；
5???b?1，求tan(2??)的值. (2)若t?1，a?4????1解：（1）因为向量a?(cos?,sin2?)，b?(sin?,t)，a?b?(,0)，
5所以cos??sin??1，??????2分 5124?，两边平方得2sin?cos??且??(0,)， 525249.??????4分 25t?sin2?.由cos??sin??所以(sin??cos?)2?1?2sin?cos???739因为??(0,)，所以sin??cos??，所以sin??，t?sin2??.??????6分
25525??t?1b?1， （1） 因为，a?所以sin?cos??sin2??1，即sin?cos??cos2?，?????8分 当cos??0，??(0,?)，所以???，则tan(2??)?1，.??????10分
24?当cos??0，tan??1，??(0,?)，所以???，则tan(2??)??1，.??????12分
44?综上，tan(2??)的值为1或-1..??????14分
416、（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P?ABCD中,O为AC与BD的交点, AB?平面PAD, ?PAD是正三角形,
DC//AB,DA?DC?2AB.
? (1)若点E为棱PA上靠A近的三等分点,证明：直线OE//平面PBC； (2)求证:平面PBC?平面PDC. 证: (1)因为DC//AB,DC?2AB, 所以AO:OC?AB:DC?1:2.?????2分
E
点E为棱PA上靠A近的三等分点, 即AE:EP?1:2?AO:OC， 所以OE//PC，.??????4分 又因为OE?平面PBC，PC?平面PBC， 所以OE//平面PBC..??????6分 (2) 取PC的中点F,连结FB,FD.
因为?PAD是正三角形, DA?DC,所以DP?DC.. 因为F为PC的中点,所以DF?PC.
因为AB?平面PAD,所以AB?PA,AB?AD,AB?PD. 因为DC//AB,所以DC?PDDC?DA..??????8分
设AB?a,在等腰直角三角形PCD中, DF?PF?2a.在Rt?PAB中, BP?5a. 在直角梯形ABCD中, BD?BC?5a.
因为BC?BP?5a,点F为PC的中点,所以PC?FB. 在Rt?PFB中, FB?3a.
在?FDB中,由DF?2a,FB?3a,BD?5a,可以知道所以FB?DF..??????12分
由DF?PC,DF?FB,PC?FB?F,PC、FB?平面PBC,所以DF?平面PBC. 又DF?平面PCD,所以平面PBC?平面PDC..??????14分 17、（本小题满分14分）
2017年6月以来，某地区再度爆发“流感”疫情，引起某种消毒液热销．消毒液原来每瓶的成本为8元，售价为10元，月销售量为6万瓶．
（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，则月销售量相应减少0.4万瓶，要使提价后 月利润不低于原来的月利润，则消毒液每瓶售价最高为多少元？
（2）为了提高月总利润，厂家决定下月投入部分资金进行广告促销，计划每瓶的售价
,
C
第16题图
P B O
D
A
34(x?12)万元作为广告费用．据市场调查，售价每瓶每提高0.5元，51.8月销售量将相应减少万瓶．当售价x为多少元时，下月利润最大，并求出最大利润．
(x?10)2为x(x≥12) 元，并投入
解: (1)设每瓶售价提高a个0.5元，由题意得，
(8?0.5a?6)(6?0.4a)?(10?8)?6，解得0?a?11，.??????2分
所以a=11时，最高售价10+11?0.5=15.5元，.??????4分 所以最高售价为15.5元．.??????5分
（2）由题意，下月利润为y?(x?8)[6??(x?8)[6?x?101.834?]?(x?12) 0.5(x?10)251834]?(x?12).??????8分
5(x?10)514x2-190x+15364x2-20x+914(x?7)(x?13)y?-?，y'?-??-?.??????10分 25x?105(x?10)5(x?10)2令y'=0，x=7(舍)或x=13，则 12?x?13时y'?0 ，x?13时y'?0 所以x=13时，y取最大值，此时y=17.2.??????12分
答：当每瓶售价13元时，月销售利润最大，最大值为17.2万元．.??????14分 18、（本小题满分16分）
x2y2如图1，已知椭圆E:2?2?1（a?b?0）的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，
ab椭圆E上一点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆E的离心率e?3. 2（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设P是椭圆E上异于A、B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点M，N为MB的中点.
①试判断直线PN与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.
②若点F为椭圆左焦点，F关于直线PN的对称点为Q，求证：当点P在椭圆E上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．
解 （Ⅰ）依题设条件可得：ab?2，a2?c2?b2，
c3?.又a2yM P A . F O N B x 解得a2?4，b2?1，所以椭圆E的标准方程为
x2?y2?1..??????2分 4l （Ⅱ）①直线PN与椭圆E相切于点P.证明如下： 设P(x0,y0)，又A(?2,0)，所以直线AP的方程为y?即M(2,4y0)..??????4分 x0?2y04y0，?(x?2)，令x?2，得y?x0?2x?2第18题图 0
2y又B(2,0)，N为MB的中点，所以N(2,0x0?2于)是直线PN的方程为
2y0?y0xyx0?2y?y0??(x?x0)，即y?200(x?x0)?y0.??????6分
x0?42?x0
x02xy?y02?1，所以x02?4??4y02，所以y?002(x?x0)?y0，整理得因为4?4y0y?4?x0x.??????8分 4y0
?x22??y?1?4由y??消去y并整理得(x02?4y02)x2?8x0x?16?16y02?0，即x2?2x0x?x02?0，
?y?4?x0x?4y0?此方程的根的判别式??(?2x0)2?4x02?0，所以直线PN与椭圆E相切 于点
P.??????10分
②由①可得直线PN的方程为y?4?x0x（-3,0），设左焦点F关于直线PN的对称点为
4y0?4y0?y153x02?8x0?163??x1??xx?316?3x020?1?，解得?Q(x1,y1)，则?8(3x0?4)y0?y1??x0?x1?3?1? y?12?2?4y02y016?3x0??53x02?8x0?1638(3x0?4)y0即Q(,)，.??????12分
16?3x0216?3x02直线PQ的直线方程为y?y0?y0(3x02?83x0?16)3x0?53x0?8x0?16332(x?x0).
令y?0，即0?y0?y0(3x02?83x0?16)3x0?53x0?8x0?16332(x?x0)，解得x?3，