所以直线PQ过椭圆右焦点(3,0)..??????16分 19、（本小题满分16分）
设函数f(x)?a3x?cx(a,c?R,a?0)． 3（1）若a??3，函数y?f(x)在[?2,2]的值域为[?2,2]，求函数y?f(x)的零点； （2）若a?2，f?(1)?3，g(x)? ①对任意的x???1,1?, ②
令
?3?1x?m．
?f??x??g?x?恒成立, 求实数m的最小值；
??x????f??x??1?f?,
x若
存在
x1,x2??0,1?使得
??x1????x2??g?m?,求实数m的取值范围.
【解析】（1）当a??3时，f(x)??x3?cx,f?(x)??3x2?c
① 若c?0，则f?(x)?0恒成立，函数y?f(x)单调递减，
?f(?2)?2又函数y?f(x)在[?2,2]的值域为[?2,2]，??，此方程无解．??2分
f(2)??2?② 若c?0，则f?(x)?0,?x??c． 3（i）若?f(2)?2c?2，即c?12时，?，此方程组无解；
f(?2)??23?c)?23c)??23??f(cc??2?2（ii），即3?c?12时，?33?f(???（iii）2由①、②可得，c=3．
，所以c=3；
c?f(?2)?2?2，即c?3时，?，此方程无解． 3f(2)??2??f(x)??x3?3x的零点为：x1?0,x2??3,x3?3． ??6分
（2）由a?2，f?(1)?3得：f?x??又g(x)?23x?x，f??x??2x2?1， 3?3?1x?m，对任意的x???1,1?,
?f??x??g?x?恒成立
?2x2?1?(3?1)x?m．
当x?0时，m?1， ??8分 又m?1时,对任意的x???1,1?,
??2x?1???(3?1)x?1??22?22?3?1x2?2??3?1x ?2??3?1x?x?1??0，
?即m?1时，2x?1?(3?1)x?1，
2?实数m的最小值是1，即mmin?1． ??10分
(3) 法1：由题意可知??x1????x2?max?3m，
Q2x2?1?2122?x?1???2x?1??0在x??0,1?上恒成立， 33?2x2?1?6?x?1?在x??0,1?上恒成立； ??12分 32由(Ⅱ)得：2x?1?(3?1)x?1在x??0,1?上恒成立， ??13分
?6?x?1??3f??x??(3?1)x?1．
又因为当x??0,1?时,1?x??0,1?，
?6?1?x?1??f??1?x??(3?1)(1?x)?1．
3?6?x?1??6?1?x?1????x??(3?1)x?1?(3?1)?1?x??1， 33即6???x??3?1，????1??6，??0?max???1?max?3?1，??15分
?2?min???x1????x2?max?3?1?6?3m, ?m?1?3?2. 3 ??16分
法2：?(x)?2x2?1?2(1?x)2?1?2[x2?1?(x?1)2?1]，??12分
22设P(x,0),A(0,22),B(1,?)，则?(x)?2?PA?PB?，由下图得： 22?PA?PB?min?AB?3,?PA?PB?max?OA?OB?26， ?22yA∴?(x)min?6,?(x)max?1?3，
???x1????x2?max?3?1?6?3m，
OPBx?m?1?20、（本小题满分16分）
3?2． ??16分 3已知数列{an}的前n项和为Sn，把满足条件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有数列{an}构成的集合记为M．
1
（1）若数列{an}通项为an＝2n，求证：{an}∈M；
（2）若数列{an}是等差数列，且{an＋n}∈M，求2a5－a1的取值范围；
4n
（3）若数列{an}的各项均为正数，且{an}∈M，数列{a}中是否存在无穷多项依次成等差数列，
n若存在，给出一个数列{an}的通项；若不存在，说明理由． 11－(2)n
111n
解:（1）因为an＝2n，所以Sn＝2×＝1－(12)，
1－2
1131311
所以an＋1－Sn＝(2)n1－1＋(2)n＝2(2)n－1≤2×2－1＝－4＜0，
＋
所以an＋1＜Sn，即{an}∈M． ??????4分 （2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，
所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋?＋(an＋n) （*） 特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1， n(n－1)n(n＋1)
由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋2d＋2， d＋131
整理得2n2＋(a1－2d－2)n－a1－1≥0，
d＋1
因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有2≥0，解得d≥－1， 又d≤－1，所以d＝－1，
于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1， 所以2a5－a1＝2(a5－a1)＋a1＝8d＋a1＝－8＋a1≥－9，
因此2a5－a1的取值范围是[－9，＋∞)． ??????10分 Sn＋1
（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即S≤2，
n
Sn＋1S2S3Sn＋1
所以S＝S×S×?×S≤2n，从而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n，
112n又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n2(n≥3)，
－
又a2≤S1＝a1×2
2－2
，a1＜a1×2
1－2
，所以有an≤a1×2
n－2
4n4n
(n∈N)，所以a≥a×2，
n1
*
4n
假设数列{a}中存在无穷多项依次成等差数列，
n不妨设该等差数列的第n项为dn＋b(b为常数)，
4m4m4n
则存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝a≥a×2≥a×2，即da1n＋ba1≥2n2，
m11
＋
(n＋1)2n22－(n－1)2n2*
设f (n)＝2n2，n∈N，n≥3， 则f (n＋1)－f (n)＝2n3－2n2＝2n3＜0，
＋
＋
＋
＋
9
即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝32＜1，
于是当n≥3时，2n2＞n2，从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，
＋
于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立， 4n
因此数列{a}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ??????16分
n
数学Ⅱ参考答案与评分标准
21．A．因为EB=BC，所以?C因为?BED因为?EBA所以?EAB所以?EAD所以?EAD?BEC． ?BED?BAD．
?BAD，所以?C?C?BEC2?C，AE=EB，
?EBA2?C，又?C?BAD．
?C，故?BAD?C?EAD．……………………………………………5分
?FDE，
?FED，又因为?EDA所以△EAD∽△FED，则
DEAD． =DFED又因为DE=2，AD=4，所以DF=1．…………………………………………10分
?1a??2??2??2?a??4?B．解：（1）由条件知，A??2?，即?，即?2??1??1???2?b???2?， ?1b???????????a?2,?2?a?4,?12?所以? 解得?所以A??． ????????????4分 ??14b?4.?????2?b?2,
?2?3?1A???1??61???3????????????????????????????6分 ?1?6??1??2??10??12??33???1?1?1(AB)?BA?????22??????????????10分 ???04??11????33????66??C．解：设弦OM中点为N(?,?)，则M(2?,?)，
因为点M在圆A上，由圆A的极坐标方程为??6cos?，所以2??6cos?， 即??3cos?， ???????????4分 又点M异于极点O，所以??0，
所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为??3cos?(??0)．??????????6分
22即直角坐标方程为x?y?3x?0(x?0)?????????????????10分
D． 因为[(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2](12?22?32)≥[(x?1)?2(y?2)?3(z?3)]2
?(x?2y?3z?6)2?142，???8分
当且仅当
x?1y?2z?3，即x?z?0,y??4时，取等， ??123所以(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2≥14． ???????10分