令
?02?g2?a2， 则单摆的振动微分方程可表示为： ld2?2??0??0。 2dt所以，周期 T?2??0?2?lg?a22。
??（2）以加速度a上升的电梯为参照系，摆球受重力mg、张力T、向下的惯性力
??f??ma。在平衡位置O处，摆线在竖直方向，有
???mg+T+f=0。
当摆球偏离平衡位置的角位移为?时，由牛顿定律得（切向）
d2??mgsin??macos??ml2
dt由于?很小，取sin???，上式整理为：
d2?g?a???0
ldt22令 ?0?g?a，所以，周期 lT?2??0?2?l。 g?a（3）同理可求出加速度a（a T?2?l。 g?a139.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为10/s。设想各原子间彼此以 弹簧连接。、一摩尔银的质量为108g且包含6.02?10个原子。现仅考虑一例原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。 解：设一列原子中的某个原子质量为m，且m?立 O—X坐标系，考察该列原子水平方向的振动。 当该原子偏离平衡位置位移为x时，在x方向受力： ?2kx 230.108㎏，其平衡位置为O，建236.02?10d2x由牛顿定律得 m2??2kx dtd2x2k2kx?0， 振动频率?02?即m2? mmdt由题意f?所以k??01?103/s，而f?2?2?2k m10.108?(2?f)2?m?2?2?1026??354N/m 2326.02?109.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为20g，现将弹簧自平衡位置拉长22cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s，求该振子的运动学方程（SI）。 解：（该题有误：设振子质量为m=200g=0.2㎏，才能与答案相符。） ?0?k9.8??7.0rad?s?1 m0.2202v0?22(7.0?10?2)2?3.0?10?2m 振幅 A?x?2?(22?10)?2?07.0??v07.0?10?2?10)?tg????19.47??0.34rad 初相 ??tg(???2?0x0?7.0?(22?10)??1所以，振动方程为 x?Acos(?0t??)?3.0?10?2cos(7t?0.34)[SI] 9.2.7 质量为1.0?103g的物体悬挂在劲度系数为1.0?106dyn/cm的弹簧下面。（1）求其振动的周期。（2）在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s求运动学方程。 解：（1）T?2?m12??2???0.199s k100031.62－ （2）t?0时x0=+0.5㎝=+5×103m； v0=+15㎝/s=+0.15m/s 设振动方程为 x?Acos(?0t??) t?0时，x0?Acos?，v0???0Asin? 2式中 ?0?k?1000 m202v0?320.152?6.89?10?3m 由振幅公式 A?x?2?(5?10)?1000?0初相 ??tg?1(???v00.150)?tg?1????43.49??0.242? ??3?0x0?31.62?(5?10)?所以 x?0.680cos(31.6t?0.242?)㎝。 9.2.8 (1)一简谐振动的运动规律为x?5cos(8t??4)，若计时起点提前0.5s，其运动学 方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为x?8sin(3t??)，若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ （3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。 解：（1）若计时起点提前0.5s，则提前后的时间t?和t的关系为t??t?0.5，即 t?t??0.5，代入方程得x?5cos(8t??4??4)，其初相位为???4??4。 设计时起点提前t0可使其初相位为0，则t??t?t0，t?t??t0，即 x?5cos(8t??8t0?再令?8t0??4) ?4?0，得 t0??32，即计时起点提前t0??32秒。 （2）用余弦函数表示简谐振动：x?8sin(3t??)?8cos(3t??2) 若计时起点推迟1s，则推迟后的时间t??t?1，t?t??1，代入方程得 x?8cos(3t??3?其初相位为??3??3)或x?8cos(3t??3??) 223??或??3? 22设计时起点提前t0可使其初相位为0，则t??t?t0，t?t??t0，即 x?8cos(3t??3t0?再令 ?3t0?或令 ?3t0??3)或x?8cos(3t??3t0??) 22，提前t0??2?0，得 t0??6?6秒； 3????0，得 t0??，推迟秒。 2223）x?5cos(8t??4)，若计时起点提前0.5s，则x?5cos8(t??8t0??4)， ????4??4??1840； x?8sin(3t??)?8cos(3t??3)，若计时起点推迟1s，则x?8cos(3t??3t0??)，22??3????980。 9.2.9 画出某种简谐振 动的位移—时间曲线，其运动规律为x?2cos2?(t?)（SI制）。 解：x?2cos2?(t?)?2cos(2?t?曲线： 321414?2)，借助参考圆画出该简谐振动的位移—时间 9.2.10 半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。（1）求其振动的周期。（2）求与其振动周期相等的单摆的长度。（3）将圆环去掉余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 解：（1）视薄圆环为刚体，质量为m，静止时重心C与刀口O连线位于竖直位置，振动系统处于平衡位置。若OC与竖直方向成一小角?，则重力矩使其回到平衡位置，由于 2而刀口支于剩3? 惯性，薄圆环作微小摆动。则重力矩 ?z??Rmgsin??Rmg 由平行轴定理，薄圆环对过O点垂直于环面的轴的转动惯量为 I0?mR2?mR2?2mR2 d2???Rmg? 由转动定理 I0dt2d2?g???0 整理得 dt22R所以，振动频率?0?g2?2R，周期T? ?2?2R?0gl，l为摆长。由题意，TH?TD，得l?2R。 g（2）单摆的振动周期T?2?即单摆的摆长为l?2R时，其振动周期与圆环振动周期相等。 （3）视 11圆环质量为m 33112I0/?IC?(m)xc?mR2 331111222I0?IC?(m)co2?(mR2?mxc)?m(R?xc)2?mR2?mRxc 333333由xcxdm33???R 2??dm233mR2(1?) 32?则I0?233mR2(1?)I02R32?根据复摆周期：T?2? ?2??2?1g133(m)g(R?xc)mg(R?R)332?T:T1?1:1 39.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等。固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。（1）求当h=50cm和h=100cm时的比值 T。（2）是否存T0在某一h值，可令T=T0，若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。