习题二
2-3 已知真空中静电场的电位??x??解： E????????x2?0?Udx V，求电场强度的分布及电荷体密度?。 V/m
????2???2xU??exex????????xd?0??Ex ????D???0??E???0?2???0????x?0 C/m2
2-5 已知某空间电场强度E?(yz?2x)ex?xzey?xyez，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。
答案 ??x2?xyz
2-8 已知电场强度E?解：因为
????D???0??E
E0ra33er,(0?r?a,E0为常数)，求体电荷密度?(r)，其中介电常数为?。
由球坐标系中散度展开式
??A?1r2??r?r2Ar??1?rsin????sin?A???1?A?rsin???
得
????D????E??1r2??r?r2Er??5?E0ra32
2-11 计算均匀电荷面密度为?的无限大平面的电场。 解： 根据高斯定律有
?s??????D?dS?D0?Sez?ez?D0?S(?ez)?(?ez)?2D0?S???S
注意侧面上D0 的通量为零。 由边界条件可知D0|z?0?D0|z?0????2?(??2)??
因此求得D0=σ/2，用矢量式表示时为
???ez??2D0?????(?ez)?2z?0
z?0
2-12 在无限大真空中，已知电位??q4??0re??r，求对应的电场强度及电荷分布。
2分析 r?0处是?(r)的奇异点，在该点应有一个点电荷。在r?0处，可由????0??求得电荷体密度，而位于r?0处的点电荷，则可应用高斯定律求得。
解 (1)电场强度为
E??????er???r?erq4??0e??r???1?2??r??r
(2) 在r?0处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为
????D????E??1r2??r?r2Er????q4?r2e??r
为了确定r?0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯定律可得到球面S内的总电荷Q为
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Q??0?E?dS??0E(r)4?rS2?q(1??r)e??r
该球面S内的体分布电荷的总电荷量Q?为
Q???V?dV??0?(?)d?r??0r??q4??2e???4??2d??q(1??r)e??r?q
故r?0处的点电荷q0为
q0?Q?Q??q
2-17圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。
分析 由于圆柱形电容器内的场强与半径成反比，所以内导体表面上的电场强度最大。内导体半径a的值不同时，电容器中的最大电场强度的值也不同。当内导体半径a取某一个值时，最大电场强度会出现极小值。
解 设内导体单位长度带电荷为?l，利用高斯定律求得圆柱形电容器中的电场强度为
E(r)??l2??0r
由内外导体间的电压
U??baEdr??ba?l2??0rdr??l2??0lnba
得到
?l?2??0Uln(ba)
由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式
E(r)?Urln(ba)Ualn(ba)
在圆柱形电容器中，r?a处的电场强度最大
E(a)?
令E(a)对a的导数为零，即
?E(a)?a??1ln(ba)?1a2ln(ba)2?0
由此得到
ln(b/a)?1
故有
a?Eminbe2.718eU?U?2.718 bb?b
说明 电容器中最大电场强度的值越小，电容器能承受的电压越高。当电容器中的最大电场强度
取极小值Emin时，电容器承受的电压最大。因此在设计时，应使电容器的内外半径之比满足一定的条件。
2-18一个半径为R介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?Krer，其中K为数。试计算(1)束缚电
荷体密度和面密度；(2) 自由电荷密度；(3)球内、外的电场和电位分布。
分析 由于已知极化强度P，由于
，
?p????P?p?P?en第 2 页 共 17 页
故可求出极化电荷分布，再利用D??0E?P和????D求出自由电荷体密度。 解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为
1d1d?2K?K 2?p????P??r2dr?rPr???r2?rdr????2r?r在r?R的球面上，束缚电荷面密度为
?p?P?en?Prr?R?KR
(2)由于D??0E?P，所以
E?P
???0由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
????D?1r2ddr?r2Dr???12ddr???0r?r2Pr???K2
???0r
总的自由电荷量
q????d???K???0?er?R01r24?rdr?24??RK???0
(3)介质球内、外的电场强度分别为
E1?PK(???0)r?er???0q (r?R)
2E2?er?RK?0(???0)r?R4??0rRr2 (r?R)介质球内、外的电位分别为
?1????rE?dl?Kln?E1dr???E2dr??RrK(???0)rdr???R?RK?0(???0)r2dr
Rr?r??RKK(???0)?0(???0)2 (r?R)
dr??2???rE2dr???RK?0(???0)r?0(???0)r (r?R)
说明 虽然介质是均匀的，但极化强度P不是常矢量，所以介质的极化是非均匀的。因此，介质体内可能有极化电荷，此即意味着介质体内有自由电荷分布，但介质表面上通常不存在面分布的自由电荷。
2-22两种电介质的相对介电常数分别为?r1?2和?r2?3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场为E1?2yex?3xey?(5?z)ez，那么对于介质2中的E2和D2，你能得到什么结果？
分析 在两种电介质的分界面上，不存在面分布的自由电荷。根据静电场的边界条件，在两种电介质分界面z?0处，有ez?(E1?E2)?0、ez?(D1?D2)?0，由此可求出介质2中的E2和D2在分界面z=0处的表达式。
解 设在介质2中
E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)
D2??0?r2E2?3?0E2
在z?0处，由e?(E?E)?0和，ezz21?(D2?D1)?0可得
??ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?
2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到
E2x(x,y,0)?2y,E2y(x,y,0)??3x,E2z(x,y,0)?103
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故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为
E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)
说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系。一般情况下，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。如果介质中的场是均匀的，则边界面上的电场与介质中的电场相同。在本题中，由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
2-33两个电荷分别位于两种介质中，两种介质的分界面为无限大平面，介电常数分别为?1??0和
?2?2?0，点电荷q1与q2相对于界面为镜象位置，相距为2h。求(1)点电荷q1与边界距离一半处的电
位，(2)q1所受的力。
解：利用叠加定理与镜像法将原问题分解 q1 q1 · ·
A h · h ?1 ?1 = ? ? 1h h
· q2 · ??q2?? q1 其中
2???q2?q1
h h · +
?2 ?2 q2 ·??q1??q2?1??2?1??2q1??q2?1313q1???q1?q1??q1???q2?q2??q24323q1 q2?2??1?2??1q2
故
?A?q14??1(h/2)???q2??q14??1(3h/2)2?4q1?q29??1h2
2Fq1?q1Eq1?q1??q2??q14??1(2h)?q1??q2??q148??1h?2q1?q1q248??1h2
2-44有两个质量均为m 的完全相同金属小球A和B，用一个原长为l0的轻弹簧连接，小球和弹簧之间是绝缘的。用丝线把小球和弹簧吊起来，如图所示。此时弹簧的长度为l1。使两个小球带上等量同种电荷后，弹簧的长度变为 l2，问两个小球所带电量为多少。(提示：设弹簧的拉伸系数为K，单位为Kg/m。弹簧较轻，自身重量忽略不计)
解 当两个小球不带电时，以B球为分析对像，它共受两个力作用，一个是重力mg，另一个是弹簧的拉力T，因为静止，所以这两个力平衡，设弹簧的拉伸系数为K，则有：
mg?T?K(l1?l0) (1)
两个小球带电后，还是以B球为分析对像，此时B球受到三个力的作用，除去重力mg、弹簧的拉力T??K(l2?l0)以外，还受到A球的库仑力。平衡后两球间的距离为l2, 所以库仑力为：
F?14??0Q22l2
由于平衡，所以有：
mg?14??0Ql222?K(l2?l0) (2)
解(1)(2)两式得
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14??0Q22l2?l2?l0?l?l1?mg??1??mg2l1?l0?l1?l0?
A 故
Q?l24??0mgl2?l1l1?l0
B 题2-44图
习题三
3-1
一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以角速度?绕一直径匀速旋转，如图所示。试求球体内的电流密度并计算分布电流的总和。
解：设球内任一点到球心的距离为r，转轴与矢径夹角为?，则该点的线速度 v??rsin? 球内的电荷体密度 ??Q43
3?a该点的电流密度 J??v?球内电流为
?3Q?rsin?4?a3e?
Qa?OrI??SJ?dS?2?320?a3Q?rsin?4?a?230rdrd?
?Q?2?3Q?a4?a332(?cos?)0 题3-1图
3-3 铁制水管内、外直径分别为2.0cm和2.5cm，常用水管来使电器设备接地。如果从电器设备流入
到水管中的电流是20A，那么电流在管壁和水中各占多少？假设水的电阻率是0.01Ωm。 解：单位长度的铁管电阻为
R铁＝?铁S铁＝8.7?10?82?(0.0252?0.02)
单位长度的水柱电阻为
R水＝?水S水＝0.01?0.022
当水管中的电流为20A时，水柱和铁管中的电流之比为
又根据题意
I水＋I铁＝20AI水I铁＝R铁R水＝1.5?10?5 (a)
(b)
所以将(a)、(b)联立求解，可得管壁和水中的电流强度
I水＝0，I铁＝20A
3-15 个同心球电容器的内导体的半径为a，外导体的内半径为c，期间填充两种漏电介质，电导率分别
为?1和?2，分界面半径为b。当外加电压为U0时，求两个极板间的绝缘电阻和功率损耗。 解：设由内导体流向外导体的径向电流为I，在两种介质的分界面上，电流密度与分界面垂直。根据
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