定积分在生活中的应用
引 言
通过学习了定积分后，我了解到定积分在生活中有很重要的应用。定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用；微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述
1、定积分的定义
设函数f?x?在区间?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干个分点
a?x0?x1???xn??1xn?b， 把区间?a,b?分成n个小区间：
有?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?,且
各个小区间的长度依次为?x1?x1?x0，?x2?x2?x1，?，?xn?xn?xn?1。在每个小区间，?xi?1,xi?上任取一点?i，作函数f??i?与小区间长度?xi的乘积f??i??xi（i?1,2,?,n）
n并作出和S??f????x。记Piii?1?max??x1,?x2,?,?xn?，如果不论对?a,b?怎样分法，
也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i怎样取法，只要当P?0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f?x?在区间?a,b?上的定积分（简称积分），记作
?baf?x?dx，即
ban?f?x?dx=I=limP?0?f????x,
iii?1其中f?x?叫做被积函数，f?x?dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，
b叫做积分上限，??a,b?叫做积分区间。
设函数f?x?和g?x?在?a,b?上都可积，k是常数，则kf?x?和f?x?+g?x?都可积，
2．定积分的性质.
并且
0
性质1 ?kf?x?dx=k?f?x?dx;
aa性质2 ??f?x??g?x???dx=?af?x?dx+?ag?x?dx a?bbbbb?ba??f?x??g?x???dx=?af?x?dx-?ag?x?dx.
bb性质3 定积分对于积分区间的可加性
设f?x?在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有?f?x?dx=?f?x?dx+?f?x?dx。 aab性质 4 如果在区间?a,b?上f?x??1，则?1dx=?dx=b?a。
aabbcbc性质 5 如果在区间?a,b?上f?x??0,则?f?x?dx?0?a?b?。
ab性质 6 如果在[a,b]上,m?f(x)?M,则
bm(b?a)??af(x)dx?M(b?a)
性质 7（积分中值定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存一点?使得
b?af(x)dx?f(?)(b?a)
3．定理及方法
1、定理
定理1 微积分基本定理
如果函数f?x?在区间?a,b?上连续,则积分上限函数??x?=?f?t?dt在?a,b?上可导,并
a且它的导数是
?'?x?=
d?f?t?dtaxxdx=f?x??a?x?b?.
定理 2 原函数存在定理
如果函数f?x?在区间?a,b?上连续,则函数??x?=?f?t?dt就是f?x?在?a,b?上的一个原函
a数.
定理3 牛顿-莱布尼茨公式.
如果函数F?x?是连续函数f?x?在区间?a,b?上的一个原函数, 则
x 1
?f?x?dx=F?b??F?a?
a称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
2、方法
定积分的换元法
假设函数f?x?在区间?a,b?上连续,函数x(1)?????a,?????b;
(2) ??t?在??,??(或??,??)上具有连续导数,且其值域R???a,b?,则有
???t?b满足条件
?baf?x?dx=???f????t????'?t?dt,
上面的公式叫做定积分的换元公式.
定积分的分部积分法
根据不定积分的分部积分法,有 ?u?x?v'?x?dx? ??uab??x?v'?x?dx??b
ab ???u?x?v?x???u'?x?v?x?dx????u?x?v?x???b
a ?简写为
?a?v?x?u'?x?dx
ab ?uv'dx=
ab?uv?bb?a?bavu'dx
或
?二 、定积分的应用
baudv=
?uv??a?vdu.
㈠计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用
1、利用定积分计算平面图形的面积
（1）设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)?f(x)，x?[a,b]．求曲线y?f(x)，
y?g(x)及直线x?a,x?b所围成的平面图形的面积S．（如图1）
解法步骤：
第一步：在区间[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f(x)?g(x)]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dS?[f(x)?g(x)]dx．
2
第二步：在区间[a,b]上将dS无限求和，得到S??ba[f(x)?g(x)]dx.
（2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x??(y)、x??(y)其中
?(y)??(y)与直线y?c、y?d所围成的平
图2
面图形（图2）的面积为：
S??dc[?(y)??(y)]dy
例1 求由曲线y?sinx，y?cosx及两直线x?0，x??所围成的图形的面积A．
解 （1）作出图形，如图所示．易知，
在[0,?]上，曲线y?sinx与y?cosx的交点为(,4?22)；
（2）取x为积分变量，积分区间为[0,?]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分； （3）区间[0,?4]上这一部分的面积A1和区间[??4,?]上这一部分的面积A2分别为
A1??40(cosx?sinx)dx，
A2???(sin4?x?cosx)dx，
所以，所求图形的面积为
?40A?A1?A2=?(cosx?sinx)dx+??(sinx?cosx)dx
4?
3
???sinx?cosx?04???cosx?sinx???22?42222．
例2 求椭圆
xa?yb?1的面积.
解 椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即
S?4S1?4?a0ydx
利用椭圆的参数方程
?x?acost??y?bsint
?2,x?a应用定积分的换元法,dx??asintdt,且当x?0时,t?S?4??bsint(?asint)dt20时,t?0,于是
??4ab?2sintdt02??4ab?201?cos2t2dt
?1?t??4ab??sin2t?2??ab?24?0
2．求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T:a?x0?x1????xn?b划分成许多基本的小块，每一块的厚度为?xi(i?1,2,?,n)，假设每一个基本的小块横切面积为
A(xi)(i?1,2,?,n)，A(x)为?a,b?上连续函数，则此小块的体积大约是A(xi)?xi，将所有
的小块加起来，令T?0，我们可以得到其体积：
nV?limT?0?i?1A(xi)?xi??baA(x)dx 。
例2 求由曲线xy?4, 直线 x?1,x?4,y?0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.
解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，
4