相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为
dV4xy 2=πydx=π()dx,
2于是，体积 V=π?4142()dxx
xy=4 =16π?411x1x2dx41O 1 x x+dx 4 x ??16π=12π.
3．求曲线的弧长
（1）设曲线y?f(x)在?a,b?上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在?a,b?上任取小区间?x,x?dx?，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即lMN?ds.得弧长微元为：
ds?MT?(dx)?(dy)22?1?(y?)dx2,再对其积分，
则曲线的弧长为：s??bads??ba1?(y?)dx?2?ba21?[f?(x)]dx
（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线?时弧长微元为：
ds??x??(t)?y??(t)上t???,??一段的弧长.这
?dx?22??dy??2?dx??dy??????dtdtdt????22即
ds????t????2?t?dt
曲
线
的
弧
长
为
：
则
s???
?ds????22[??(t)]?[??(t)]dt
例3 (1)求曲线 y?解 由公式 s=?ba233x2上从0到3一段弧的长度
21?y?dx （ a?b）知,弧长为
5
s=?301?y?dx2=?301?xdx=
233(1?x)230=
163?23=
143.
(2)求摆线
?x?a(t?sint), ??y?a(1?cost)在0?t?2?上的一段弧的长度（a?0）．
解 取t为积分变量，积分区间为[0,2?]．由摆线的参数方程，得
x??a(1?cost)，y??asintx??y?22，
2?a(1?cost)?asint2222t
?a2(1?cost)?2a|sin|．
于是，由公式（16-13），在0?t?2?上的一段弧的长度为
s??2?02a|sin2?t2|dt??2?02asint2dt
t???4a??cos??8a
2?0?㈡、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 s?
例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
?3t,0?t?10,?v(t)??30,10?t?40
??1.5t?90,40?t?60.??bav(t)dt
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
s??32 ?1003tdt?[?30dt??(?1.5t?90)dt
1040404060t|0?30t|10?(?21034t?90t)|40?1350(m)
260 6
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2、 定积分在变力作功的应用
例1 一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a 与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到 W??baF(x)dx 例2 设40N的力使一弹簧从原长10cm拉长到15cm．现要把弹簧由15cm拉长到20cm，需作多少功？ 解 以弹簧所在直线为x轴，原点O为弹簧不受力时一端的位置．根据胡克定律，当把弹簧拉长xm时，所需的力为 F(x)?kx， （1） 其中k为弹性系数，是常数． 根据题意，当把弹簧由原长10cm拉长到15cm时，拉伸了0.05m，把 x?0.05F(0.05?)代入式（1），得 40 40?0.05k，k?800， F(x)?800x． 所以 因此当把弹簧由15cm拉长到20cm，即x从x?0.05变到x?0.1时，所需作的功为 W?2??800xdx?400x?0.05??0.05?3． 0.10.13、定积分在在电学中的应用 例1、有一均匀带电圆盘，其半径为R，电荷面密度为?（如下图），求圆盘轴线 上与盘心O相距为x的任一给定点P处的场强？ 7 分析：因为圆盘带电均匀分布，所以把圆盘分成许多同心的细圆环。分成的细圆环同样也是均匀带电的，要知道各细圆环在点P处的场强，我们可以同样利用微元法在细圆环上任取微小的电荷元，求出每一电荷元在点P的场强，那么由场强叠加原理，最后即可求出圆盘在点P处的总场强。 解：从圆盘上任取一半径为r，宽度为dr的细圆环，因为圆盘的面密度??dqdS，则细 圆环所带的电荷量为dq??2?rdr.那么我们先来计算一下这个圆环(假设带电量为q)在 P点激发的场强。如下图所示，在圆环上任取长度元dl，电荷线密度??上所带的电荷量为：dq?q2?rdldqdl?q2?r，则 dl dq 在P点处所激发的场强为：dE?14??0dq?1r?34??rqdl02?rd3?d ?式中d是从dl指向P点的矢量，其大小d?x?r22，由于圆环上各电荷元在P点激发 的场强dE的方向各不相同，为此把dE分解为平行于X轴线的分量dE//和垂直于轴线的分量dE?。根据对称性，各电荷元的场强的分矢量dE?相互抵消。所以P点的合场强是平行于X轴的那些分矢量dE//之和，即 8 ?E??dEcos?i?14??0qcos?2?rd2?d?i?d?dli?14??0q1x22?rdd?2?r0?dli ?qx4??0d3?i?qx4??0(x?r)2232 从而，带电细圆环在P点激发的场强为： dE?14??02xdq(x?r)232?i?14??0x?2?r(x?r)2232?dri 那么，带电圆盘E就是这些带电细小圆环所激发的场强的矢量和，即 E??dE??2?x4??0?xR0????1?dri?22322?0?(x?r)?r11?R2???i 2x????1?2?0??????i22R?x? ?场强E的方向与圆盘相垂直，其指向则视?的正负而定，??0，E的方向与i同向； ???0，E与i反向。 3 总结 从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科 中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可见是学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃. 参考文献： [1]《数学分析》上册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.07 [2]《数学分析》下册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.11 [3]《常微分方程》 （第三版）王高雄等编 .高等教育出版社，2006.07 [4]《普通物理学》第一册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2007.12 [5]《普通物理学》第二册（第五版）江之水等编 .高等教育出版社，2008.02 9