材料科学基础基本概念及典型习题助解 前言
一 结晶学基础
1.1为什么研究晶体结构要使用任意坐标系？
晶体是构成晶体的物质基元在三维空间重复排列而形成的固态聚集体。在研究某种晶体时，通常把那种晶体的布拉菲晶胞作为晶体的结构基元。用数学方法研究晶体时，需要在晶体中建立坐标系以确定晶体中某指定晶胞的空间方位。
通常，以布拉菲晶胞的某个结点的空间位置来表征该晶胞的空间位置。
确定某个晶胞的一个结点作为坐标原点，以过坐标原点的三条不共面棱边作为三条坐标轴的基矢建立的坐标系，能够保证每一个晶胞的相同结点的坐标值都为整数。这一点很重要，它能保证我们对晶体模型进行数学研究时有一个相对简捷的过程和结果。
自然界中的物质，绝大多数在微米尺度上是有序的，即所谓长程有序。这是我们用晶体模型研究材料结构的前提。
自然界中的物质结构千变万化，用正交等长度坐标系很难甚至不能对晶态结构进行有效的描述和研究，根据每一种晶体结构建立相应的坐标系具有实用价值。这就是我们研究和运用任意坐标系的意义所在。
三维空间可用三轴坐标系描述。三条坐标轴的单位长度各不相同，每两条坐标轴之间的夹角也不相同的坐标系称为任意三轴坐标系。当三条坐标轴的单位长度相等、任意两条坐标之间的夹角都等于90o时，就得到我们常用的三等轴正交坐标系——笛卡尔坐标系。
当用任意坐标系描述空间某点位置时，应该过该点作三条与坐标轴平行的直线，使这三条直线所确定的三个平面与三条坐标轴所确定的三个平面结合构成一个平行六面体。这个平行六面体的三条共点不共面的棱边长除以相应坐标轴的单位长度后就是被描述点的坐标。
更便捷的做法是：要确定某点A在任意坐标系O-xyz中的的z坐标，就通过A点作一条平行于O-xy面的直线，使其与z轴相交，交点处的z值就是A点的z坐标；x、y坐标类推。 需要特别注意的是被描述点的各个坐标轴向长度与相应坐标值的区别。每个坐标轴向长度除以相应的单位长度后才是该轴向的坐标值。譬如：在一个x轴单位长度为1?；y轴单位长度为2?；z轴单位长度为3?的任意坐标系O-xyz中，A（1,1,1）的三个轴向长度分别是1?；2?；3?。
1.2 用Bravais点阵群理论描述晶体结构有何特点？
空间对称性和周期性是晶体结构的基本特点。
法国晶体学家Bravais于1850年用数学方法（群论）推导出具有一定对称性的空间点阵只有14种，分属于7 大晶系。Bravais点阵群理论有些抽象，一般的材料类教科书上都只给出结论，掌握起来有相当难度。
从概念上理解Bravais点阵群理论要注意以下几点：
1 Bravais点阵是具有一定对称性的空间点阵。即一种点阵结构通过点对称、面对称、滑移反映等对称操作中的一种或几种操作后点阵结构能完全重合。譬如简单三斜点阵没有对称轴和对称面，但有对称点（晶胞中心）；而底心单斜点阵具有1个2度（180°）旋转对称轴和1个对称面。
2 Bravais点阵用点阵基元即Bravais晶胞来表示。Bravais晶胞的选取原则有三条：一是能充分反映空间点阵的对称性；二是晶棱夹角α、β、γ尽可能取直角；三是晶胞体积尽可能取小。其中第三条要以第一条为前提，要能充分反映晶胞的空间对称性，否则所有Bravais晶胞都成了平行六面体了。
3 一种晶体结构可能具有多种Bravais晶胞取法，譬如面心立方点阵的基元可以取面心立方晶胞，也可以取菱方晶胞，还可以取体心正方晶胞。但面心立方的空间对称性表现更充分，因此通常都采用面心立方晶胞作点阵基元。
4 需要强调一点的是，点阵基元的选取还要以晶体材料的理化特性为依据。譬如某种晶体的点阵基元既可取面心立方，也可取体心正方，而又存在各向异性的理化参数时，取体心正方为点阵基元可能更便于研究材料微观结构与宏观特性的联系。
说到这儿，可能有同学觉得理论性不强，有点实用主义。其实，所有理论都是用于解释现实存在的。如果理论不能解释现实存在，就必须进行修正甚至抛弃。这一点对于已习惯于纯理论学习的
大二学生来说很重要，要有意识地克服长期以来形成的单一思维模式，把一个理论的建立前提、推理条件和结论适用范围整理清楚，有助于以后专业课程的学习。
1.3用作图法说明一个面心立方结构相当于体心正方结构，也可相当于菱方结构。 例解：
这道题的参考答案见附图。 要点提示：
从此题可以直接得出的结论是：一种晶体可能有多种结构晶胞选择方式。
对于这种一因多果的习题或现象大家已不陌生，以前学习解二次、三次方程式中多有接触。现在的问题是在研究具有这一类结构的材料时，究竟选用哪种结构晶胞模型
更合适？选用不同结构晶胞模型做同类现象分析时，会不会出现不一致的结果？
研究材料的显微结构是为了更好的使用材料。因此哪一种模型能够更好的解释或研究那种材料的理化特性，我们就选用那种模型。比如金、银、铜三种金属，结构晶胞都具有面心立方、体心正方和棱方三种模型，但是用面心立方结构能简明清晰的解释三种金属的良好塑性，这就是选用面心立方晶胞作为三种金属的“晶体结构”的依据之一。
对于从小学到大二都基本学习“纯理论”的同学们来说，上述解释显得有些“实用主义”。其实，知识就是实用的；那些看起来远离实用的“纯理论”也是用来指导实用的。只是在指导实用时，必须根据实际情况对“纯理论”加以修正或适用条件限制。这部分内容在专业基础课和专业课中会大量遇到，预先作好心理准备，有利于改进和完善思维习惯，在学习内容由基础课向专业课转型的过程中能够顺利过渡。
至于选用不同结构晶胞模型做同类现象分析时，会不会出现不一致的结果的担心，我们需要注意两点：一是分析的前提条件要一致，包括各种影响因素在内；二是分析过程以及过程中采用的修正条件要一致，任何因素差异都会造成结果不同。在基础课中学习的内容，基本上都是单一因素对理想模型影响的规律性总结。在这部分内容的学习过程中，往往注重推理过程而忽略前提条件与结果之间的联系，这种思维惯性一旦形成，极不利于以后专业课学习，因此需要同学们在专业基础课学习阶段自觉地调整和完善。
在实际工作中，对具体个案的分析处理时还牵涉到许多方法论内容，专业基础课和专业课中都也有所涉及，需要同学们留心领会其精髓，对学习和以后工作都有好处。
1.4 已知Al晶体在550℃的空位浓度c=2×10-6, 计算空位均匀分布时的平均间距. 例解：
Al晶体为面心立方点阵，设点阵常数为a，原子直径为d，a= d ?2 (从手册上查d=0.287)。 设单位体积中的阵点数为N，因一个面心晶胞(V=a3)含4个阵点(原子)，则：N=4/V=4/(d?2)3= ?2/d3
空位浓度是单位体积内的空位数与阵点数之比c=n/N。 所以单位体积内的空位数：n=Nc=2×?2×10-6/d3
设空位平均间距为L，则以L为棱边的立方体中含一个空位：n/L3=1 即：L=(1/n)1/3=d/(2×?2×10-6)1/3=20.3nm 答：(略) 要点提示：
解本题的关键是要正确理解空位平均分布的含义，即空位在晶体三维方向上等间隔分布。
1.5 在一个简单立方二维晶体中，画出一个正刃型位错和一个负刃型位错，试求： (1) 用柏氏回路求出正负刃型位错的柏氏矢量。
(2) 若将正负刃型位错反向时，说明其柏氏矢量是否也随之反向。 (3) 具体写出该柏氏矢量的方向和大小。 (4) 求出此两位错的柏氏矢量和。 例解：
（1）画出二维简单立方晶体的完整晶格图和正负刃型位错图。
（2）在离位错线几个原子间距的外围，绕正负位错线各画一条柏氏回路。
（3）在完整晶格图上以相应柏氏回路同样走向和步数作两条回路，其终点和起点的连接矢量就是对应位错的柏氏矢量bi。
（4）若将正负刃型位错反向时，用相同作图方法作图则柏氏回路反向，柏氏矢量也必然随之反向。 （5) 在完整晶格图上建立二维坐标系O-x(a) y(a)，找出位错柏氏矢量的终点坐标 (xi2,yi2) 和起点坐标（xi1,yi1），求出相应位错的矢量：bi=a(xi2-xi1, yi2-yi1)。
其中n的求法是：n=√[(xi2-xi1)2+( yi2-yi1)2]，本例中n=1。
写出相应位错的柏氏矢量：b1= a[10]/n= a[10]。 *由 |b1|= a= a/n，得 n=1。 b2= a[ī 0]/n= a[ī 0]。*由 |b2|= a= a/n，得 n=1。 两位错相加：b= a[10]+ a[ī 0]=0。 答：（略） 要点提示：
1用作图法求柏氏矢量是通过柏氏回路和对比回路比较而实现的，两个回路有相同走向和相同步数。
2柏氏矢量要在坐标系中确定起终点坐标才能用用数学表达式表达清楚。
从图上也可以看出，两条位错线相遇，则上下两个半原子面复合成一个完整晶面，错位消失。
b2= a(9-10, 4-4) y(a)
b2：a[ī 0]
b1= a(4-3, 1-1)
b1：a[10]
O x(a)
1.6 若面心立方晶体中有b1= a[ī01]/2的单位位错及b2= a[12 ī]/6的不全围错，此二位错相遇后产生位错反应。
(1) 此反应能否进行？为什么？
(2) 写出合成位错的柏氏矢量，并说明合成位错的性质。 例解：
（1）位错反应式：b= b1+ b2=a[ī01]/2+ a[12 ī]/6 = a[ī11]/3
2
因为 b12+b22>b，所以此反应能进行。 (2) 合成位错的柏氏矢量为b= a[ī11]/3。
[ī11]晶向上的原子间距为a√3，|b|< a√3，又[ī11]⊥(ī11)，{111}晶面族中没有相互垂直的晶面存在，因此b= a[ī11]/3不在面心立方晶体滑移面{111}上，所以b为一弗兰克不全位错。 要点提示：
本题的难点是要阐述清楚合成位错的性质：是否全位错？是否可滑移？如果可滑移，应该是什么类型？
首先，已推出合成位错的柏氏矢量为b= a[ī11]/3，又[ī11]晶向上的原子间距为a√3，|b|< a√3，因此合成位错是一不全位错。
其次，面心立方晶体的滑移面为{111}，{111}晶面族中没有相互垂直的晶面存在。此位错存在于面心立方晶体中，柏氏矢量指向为 [ī11]。[ī11]⊥(ī11)，因此b= a[ī11]/3不在面心立方晶体滑移面{111}上。与弗兰克不全位错的特性相比，可以判定此位错为一弗兰克不全位错。
* 如果发现位错的柏氏矢量在滑移面上，则此位错是可滑移位错；需再将其柏氏矢量指向与滑移系中所有滑移方向比较，判定是刃型、螺旋型还是混合型位错。
1.7某斜方晶体晶胞含有两个同类原子，坐标位置分别为(3/4,3/4,1)和(1/4,1/4,1/2)，该晶体属于何种布拉菲点阵？写出该晶体的(100)，(110)，(211)，(221)等晶面反射线的squareF值。 例解：
把坐标点(1/4,1/4,1/2)移到(0,0,0)，则(3/4,3/4,1)相应移到(1/2,1/2,1/2)，由此可以判定此晶胞为体心斜方，且结构因子：
F(HKL)=fa[1+(-1)exp(H+K+L)] squareF(100)=squareF(221)=0，
squareF(110)=squareF(211)=4squarefa 要点提示：
(1) 结构因子计算公式中，只有原子坐标而无基矢，因此F值只与晶胞所含原子数及原子位置有关而与晶胞形状无关。
此题已给出晶体为斜方晶系，通过坐标平移看出一个原子在晶胞顶角(0,0,0)，一个原子在晶胞体心(1/2,1/2,1/2)，因此判定为体心斜方点阵。
(2) 结构因子计算公式是以晶胞内某个原子位置为坐标原点推导出来的(通常都以所有原子坐标取正值来确定坐标原点)。当题设条件没有晶胞原子在坐标原点时，一定要通过坐标平移使晶胞内某个原子处于坐标原点，对应公式的推导条件。
此题若直接将(3/4,3/4,1)和(1/4,1/4,1/2)代入公式计算，则计算的只是晶胞内的两个原子散射波在晶胞外坐标原点处的叠加结果而不是晶胞散射波。
(3) 碰巧，此题若不作坐标平移，直接将两个原子坐标位置代入结构因子公式算出的squareF与坐标平移后计算的相同(但F不同)，但不表明不平移也对。
反例如下：
单原子晶胞散射波就是原子散射波本身，与原子所在晶面无关。 若坐标原点在晶胞内，原子位置只能是(0,0,0)，则：F=fa， squareF=squarefa。
若坐标原点在晶胞外，如原子位置是(1/4,1/4,1/4)，则： F=fa(-1)exp(H+K+L)/2。
squareF=square[fa (-1)exp(H+K+L)]≠squarefa。 原子散射波与原子所在晶面相关，显然不对。
1.8 金刚石属面心立方点阵，每个晶胞含8个碳原子，坐标分别为：(0,0,0)，(1/2,1/2,0)，(1/2,0,1/2)，(0,1/2,1/2)，(1/4,1/4,1/4)，(3/4,3/4,1/4)，(3/4,1/4,3/4)，(1/4,3/4,3/4)。原子散射因子用fa表示，其结构因子用F表示的话，求其系统消光规律square|F|，并据此说明结构消光的概念。 例解：
F=fa[1+(-1)exp(H+K+L)/2][1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)] squareF=64squarefa。
与面心立方晶胞的结构因子F=fa[1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)]相比，多出了一个因式[1+(-1)exp(H+K+L)/2]。
在金刚石的系统消光现象中，包含有点阵消光和结构消光两部分，其中点阵消光规律由因式
[1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)]表述，结构消光规律由因式[1+(-1)exp(H+K+L)/2]表述。
因式[1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)]的取值规律讨论很简单：当H,K,L全取奇数或全取偶数时为4。当H,K,L奇偶混取时为0。现在我们来看看因式[1+(-1)exp(H+K+L)/2]的取值规律：讨论之前先引入一个单偶数和倍偶数概念：当一个偶数被2一次除即成奇数，这种叫单偶数；当一个数被2两次及两次以上除后成奇数，这种数叫倍偶数。
当（H+K+L）为奇数时，可以写成2n+1，1+(-1)exp(H+K+L)/2=1±i，该加该减由n是单偶数还是倍偶数决定。当（H+K+L）取单偶数时，1+(-1)exp(H+K+L)/2=0。当（H+K+L）取倍偶数时，1+(-1)exp(H+K+L)/2=2。由此我们得出金刚石的消光规律为：当H,K,L奇偶混取时，F=0。当H,K,L全取奇数时，F=4(1±i)fa；square|F|=16×(1±i)(1±i)×squarefa= =32squarefa。当H,K,L全取偶数且（H+K+L）为单偶数时，F=0。当H,K,L全取偶数且（H+K+L）为倍偶数时，F=4×2=8fa；square|F|=64squarefa。 要点提示：
把金刚石结构中[111]晶向上的相邻两个原子看成是结构基元，则结构基元由两个原子构成，相对位置为(0,0,0)和(1/4,1/4,1/4)，结构基元在三维空间呈面心立方结构。因此，在金刚石的系统消光现象中，包含有点阵消光和结构消光两部分。 (1) 分别把(0,0,0)，(1/4,1/4,1/4)；(1/2,1/2,0)，(3/4,3/4,1/4)；(1/2,0,1/2)，(3/4,1/4,3/4)；(0,1/2,1/2)，(1/4,3/4,3/4)看成4个双原子基元，可以推出基元散射波的相对振幅为Fj=fa[1+(-1)exp(H+K+L)/2]。把基元散射波的相对振幅代入面心晶胞结构因子公式也能得出金刚石结构因子：F=fa[1+(-1)exp(H+K+L)/2][1+(-1)exp(H+K)+(-1)exp(K+L)+(-1)exp(L+H)] (2) 多原子基元散射波已出现衍射现象，必然影响晶胞的消光规律。结构消光是在单原子晶胞的消光规律之上附加的消光现象。也就是说，多原子基元的晶胞消光晶面数必定比单原子基元的晶胞消光晶面数多。
就金刚石而言，在面心晶胞的消光基础上，增加了当H,K,L全取偶数且（H+K+L）为单偶数时也出现消光。于是在面心立方结构可以产生衍射线的(200)，(222)，(420)等晶面，在金刚石立方中都没有衍射线出现。
二 相结构
2.1 如何理解Hume-Rothery三大经验规律
Hume-Rothery三大经验规律是针对多金属元素形成置换固溶体时，金属元素之间相互关系的经验总结。
(1) 如果形成合金的元素其原子半径之差对溶剂原子半径的比(取绝对值)超过14%～15%，则固熔度(摩尔分数)极为有限。
(2) 溶剂和溶质的电化学性质相近。
(3) 两个给定元素的相互固熔度(摩尔分数)是与他们各自的原子价有关。
这三条规律中，第一条规律是量化了的，后两条是定性的，而且第三条只适用于一价贵金属与大于一价的A主族元素形成的合金。
其实这三条经验规律是从三个侧面表述了同一个内容：形成置换固溶体的金属元素之间，原子的结构差异要小。差异越小，形成的置换固溶体越稳定。
后人通过大量研究，把Hume-Rothery三大经验规律的内容具体化为原子尺寸、晶体结构、负电性和电子浓度四大因素。
溶质原子与溶剂原子的尺寸差异越小，置换后的点阵畸变越小，置换固溶体也就越稳定。如果两种原子的半径差超过15%，将引起物质相变。
各单元素的晶体结构相同是构成置换固溶体的前提条件。只有这样，溶质原子才能无限量地置换溶剂晶格原子而不改变晶体结构。
溶质原子与溶剂原子的电负性差异越大，化学亲和力越强，越容易形成稳定的化合物，固溶度也就越大。
电子浓度因素指的是确定的金属晶体具有相对确定的电子浓度极限。当以某种金属作为溶剂时，在原子尺寸因素同样有利前提下，溶质原子的价电子数与溶剂原子的越接近，固溶度越高。这句话是对Hume-Rothery第三规律的具体化表述。
需要补充一点的是，影响置换固溶体的几个因素不是独立的，某个因素变化必然伴随其他一个或多个因素变化。因此在对多元素固溶体作单因素分析时，往往在数值上没有严格的一致性结果。