6西北大学基础物理学习题集------电磁感应和麦克斯韦电磁理论
4．一面积为S的平面导线回路，置于载流长直螺线管中，回路的法线与螺线管轴线平行，设螺线管单位长度上的匝数为n，通过电流I?Imsin?t，其中Im和?为常数，t为时间变量，则该回路中感生电动势的表达式为 ??0nS?Imcos?t 。
5．在直角坐标系中，无限长载流直导线沿z轴方向，另有一与其共面的短导体棒，若使导体棒沿某坐标方向平动产生动生电动势，则有可能是：(1)导体棒平行x轴放置，其速度方向沿 Z 轴；（2）导体棒平行z轴放置，其速度方向沿 X、Y 轴。 6．半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通以交变电流i?Imsin?t，
2则管外半径为r的同轴圆形回路上感生电动势的表达式为??0n?a?Imcos?t 。
7．一薄壁纸筒长30cm，截面直径为3cm，筒上绕有500匝线圈，其内充满?r?500的铁芯。求得此线圈的自感系数为 0.37H 。
8．当符合l??R和 细导线均匀密绕 的条件时，位于空气中长为l、横截面半径为R、用N匝导线绕成的直螺线管，其自感系数可表示为L??0(线管的体积。
9．有两个长度相同、匝数相同、截面积不同的长直螺线管，通以大小相同的电流，现将小螺线管完全放入大螺线管内，使轴线重合，且两者所产生的磁场方向一致。则小螺线管内的磁能密度是原来的 4 倍；若使两螺线管所产生的磁场方向相反，则小螺线管内的磁能密度为 0 。
10．如图13-8所示，长直导线近旁有一矩形平面线圈与长直导线共面，设线圈共有N匝，其边长分别为a，b，线圈的一边与长直导线平行，相距为d。则线圈与导线的互感系数为 dNL)V，其中V是螺
2ba?0aN2?lnd?bd 。
图13-8 6
7西北大学基础物理学习题集------电磁感应和麦克斯韦电磁理论
11．真空中，两相距为2a的平行长直导线，通以方向相同、大小相等的电流I。设O，P两点与导线在同一平面内，与导线的距离如图13-9所示。则O点的磁能密度wm? 0 ；
P点的磁能密度wm?2?0I2PaOaa/(9?a) 。
图13-92212．如图13-10所示，两根彼此紧靠的绝缘导线绕成一个线圈，其A端用焊锡将两根导线焊接在一起，另一端B点处作为连接外电路的两个输入端，则整个线圈的自感系数为 0 。
13．麦克斯韦电磁场理论两个基本假设是：
（1） 有旋电场（感应电场） ；（2）? 位移电流 。 14．在没有自由电荷与传导电流的变化电磁场中
A图13-10B???????D?dS；?H?dl? ?LS?t??E?dl??L???B?tS??dS。
三、证明题
1．证明：如图所示，一电量为q的点电荷，以角速度ω作圆周运动，圆周的半径为R，设t?0时q所在点的坐标为x0?R，y0?0，则圆心处O点的位移电流密度为
q?4?R2??(sin?ti?cos?tj)
?证： t时刻q在o点产生的电场E为： ? E?q4??0R2??(?cos?ti?sin?tj)
????D?E??0 jD??t?t
?????Eq??(sin?ti?cos?tj) 得： jD??02?t4??R
7
8西北大学基础物理学习题集------电磁感应和麦克斯韦电磁理论
四、计算题
1.无限长直导线载有5.0A稳恒电流，旁边有一个与其共面的矩形线圈ABCD，已知
l?20cm，a?10cm，b?20cm，线圈匝数N?1000。今使线圈以速率v?3.0m/s离
开直导线平动，如图13-11所示。试求线圈内感应电动势的大小和方向。
解： 选取如图坐标系，在t时刻取面积元dS?ldx，距长直导
线的距离为x，则该面积元处B的大小为： B?通过该面积元的磁通量为： d??BdS?于是通过线圈的磁通量为：
?(t)??0I2?x
bADl?0I2?xldx
Ia?vC2?x2?a?vtx2?a?bt由法拉第电磁感应定律可知，N匝线圈内的感应电动势为：
a?vt?d??d?dt?b?vt?0Ildx??0I?b?vtldx??0Illnb?vtB图13-11 ???N???0lIN(a?vt)v?(b?vt)v2?(b?vt)(a?vt)
Yb?vt令t?0，并代入数据，则得线圈刚离开直导线时的感生电动势
d?dt?7t?0ADl???N???3?0lINv(b?a)2?ab?3.0?10?3IX?vCdx4??10?10?0.2?5.0?3.0?(0.2?0.1)2??0.1?0.2 (V)Oa?vtB按楞次定律可知?的方向为顺时针方向。
2. 如图13-12所示，均匀磁场中一金属框架aoba的ab边可无摩擦自由滑动，已知
?aob??，ab?ox，磁场随时间变化的规律为Bt?t/2。若t?0时，ab边由x?02以速率v沿x轴正向垂直于ab匀速滑动，试求任意时刻t金属框中感应电动势的大小和方向。
解：由法拉第电磁感应定律可知，t时刻金属框中感生电动势的大小为
??O??
?Bd?dtd(?1d(BS)dt12lx?Bd(dSdt1?S2dBdt??B??a??v????b图13-12ldt2lx)?dt2t)
???x??动??感
8
9西北大学基础物理学习题集------电磁感应和麦克斯韦电磁理论
?动的方向从b指向a，?感的方向为逆时针方向。
将x?vt，l?xtan??vttan?代入上式，则 ?i?12t2ddt(12vttan?)?2212vttan?22ddt(12t)?vttan?
223 ?i的方向为逆时针方向。
3. 如图13-13所示，无限长直导线中载有交变电流i?I0sin?t，与其共面的长方形线圈ABCD长为l，宽为(b?a)。试求：
(1)穿过ABCD面积的磁通量?；
(2)回路ABCD中的感应电动势?。 解：（1）在距导线r处，磁感应强度
B?bADlia?0i2?r??0I02?rsin?t
B图13-13C取面元Idr，穿过该面元的磁通量为
d??BdS??0I02?rsin?t?ldr
在t时刻穿过回路ABCD的磁通量为
b
???d???a?0I02?rsin?t?ldr??0l2?(lnba)I0sin?t
abADl（2）根据法拉第电磁感应定律，将?对时间t求导数， 得回路ABCD中的感应电动势
irBdr ???d?dt???0l?2?(lnba)I0cos?t
C其方向作周期形变化，顺时针为正。
??dB?k变化（k?0，4．在无限长螺线管中，均匀分布变化的磁场B(t)。设B以速率dt且为常量），方向与螺线管轴线平行，如图13-16所示。现在其中放置一直角形导线abc。若已知螺线管截面半径为R，ab?l，试求：
?(1)螺线管中的感应电场EV；
c???b?l(2)ab，bc两段导线中的感生电动势。
??O?a?B??9
图13-16
10西北大学基础物理学习题集------电磁感应和麦克斯韦电磁理论
解：（1）考虑对称性，取圆心为O，半径为r(r?R)的圆周，根据感生电场与变化磁
????d?m?B场之间的关系： ?EV?dl??????dS
dt?tLS可得
EV?2?r???r2EV??r2kdBdt???rk
2有 (r?R)
由楞次定律可以判定感生电场为逆时针方向。
（2）连接Oa，Ob和Oc，在回路OabO中，穿过回路所围面积的磁通量为
??BS?12Blh???121Bl(R?l(R?22l224))1/2 ??12l(R?2则 而 所以
?1??d?l1/2dBdtl2dt24?1??ab??bo??oa??ab
1lk(R?24)1/2k
24得 ?ab方向由a指向b。
?ab??1??l2)1/2 负号表明?1沿逆时针方向
同理可得 ?bc?方向由b指向c。
12lk(R?2l24)1/2
5．两同轴无限长的导体薄壁圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为R2，两筒上均匀地流过方向相反的电流，电流强度皆为I 。试求两筒单位长度上的自感系数。
解：二筒上的电流等值反向，构成一个电流回路。磁场仅分布在二筒之间，磁感应强度
?0I的大小为 B?
2?rR2R2穿过长度为l的二筒间的磁通量为 ???R1Bldr?R1?2?r?0Ildr??0Il2?lnR2R1
根据自感系数的定义式，二筒单位长度上的自感系数为 L??R1???0ln2 lI2?R112LI ；Wm?2另用磁场能量 Wm??wVmdV?V?2?B2R2dV0R1?2?B22?rdr
0可得 L?
2WmI2??02?lnR2R1
10