r?(r1,r2,?,rn)T也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则
组合的期望收益 Trp?wr
?11?12??1n?3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有 ????21?22??2n ??0?????????
?? ??n1?n2??nn?T注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a?a?a0，都
有 m in ? 2 ? w，则T?w ?min?21Tpp?w?www2
s.t.wTr?rp
wT1?1 T
其中， 1?(1,1,1,?,1)是所有元素为1的n维列向量。由此构造拉格朗日函数 L?1wT?w??TwT1)
w,?1,?1(rp?wr)??2(1?22注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件
注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件
?L?w??w??1r??21?0（1） ?L???rTp?wr?0（2） 1?L???1?wT1?0（3）
2其中， 0=[0,0,…,0]
0=[0,0,…,0]
由（1）得到
w??1??1r??2??11（4）
把（4）代入（2），得到 rT?1p?wr?(?1?r??12??1)Tr ?1 ??1(??1r)Tr??2(?1)Tr
???1?1r（5）
1rT?r??T21?把（4）代入（3）
1?wT1?(??1?11?r??2?1)T1）
??T1r??1（61??T??1211
为简化，定义
a?rT??1r?r??1rTb?1T??1r?rT??11c?1T??11?1??11Td?ac?b2这样我们就可以将（5）和（6）改写为 ?rp??1a??2b
??1??1b??2c
6
解得
?1?crp?bac?b2?crp?bd（7） （8）
?2?a?brpac?b2?a?brpd
w?crp?bd??1将（7）和（8）代入（4）得到，给定收益条件下的最优权重向量为 其中， a?rT??1r?r??1rTr?a?brpd??11（9）
b?1?T?1r?r?T?11c?1?T?11?1??11Td?ac?b2
7
8.2.1 最小方差集的几何特征
性质(1):最小方差集是均方平面上的双曲线 证明：由于
W?crp?b1?brp?1d??r?ad?1
???1[r1]1?crp?b?
n?2d???a?brp?
???1[r1]1?c?b??rp?
d???ba????1??根据线性代数的性质有
1?c?b??ab??1
d???ba??1?c?b??ac?b2???ba?????bc??不妨令
?ab??rT?-1rrT?-11 d???1]T??1[r1]
?bc?????rT?-111T=?-11?[r?注意与ac?b2有区别。
这样，由（9）得到的最优权重向量改写为 w???1[r1]d?1?r?p? ? 1? ? （10） 在得到最优权重的基础上，最小方差为 ?2Tp?w?w?1 ?{[rp1]d[r1]T??1}?{??1[r1]d?1?rp???}?1?
?[rp1]d?1[r1]T??1[r1]d?1?r?p? ?1???r
=[rp1]d?1?p?1? ??由于
d-1?1?c?b?ac?b2???ca??
8
所以 ?
?2p?w?w1]d?1T ?[rp?rp????1?a?2brp?crpac?b22?2p1d?cd(crp?2brp?a)(rp?b/c)?1/c222（11）
对（11）配方得到 即
??2p1/c?[rp?b/c]d/c2?1这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为
rp?b/c?均值
d/c?证毕.
pb/cwg 1/c方差
g点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point） 性质2：全局最小方差点的权重向量为
wg??1c?1? 证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它满足（11），即
2 （12）
?g(rg)?a?2brg?crgac?b22 9
对（12）求驻点
??g(rg)/?rg??b?crg?02所以，将 带入（10）得到：
rg?b/c?1
wg??[r1]d?1?rg????1???[r?1?c1]2?ac?b??b1?b??b/c????a??1???[r?1?10???11]??2?2ac?b?b/c?a?c1? 注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这
样，全局最小方差点wg以上的部分（子集），被称为均方效率边界(mean-variance efficient frontier) 均值
wg 方差
? 例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。 由题意可知
?1???0???00100??0?1??Tr=(11,2,3)rp?2 10