1an?1??2n?13??11nan??23?a1?
1????an??2n?是等比数列3??
211?,q??1?an?[2n?(?1)n]333（3分）
（2）Sn=a1+a2+……+an
112(1?2n)(?1)(1?(?1)n)2n2n?[(2?2???2)?((?1)?(?1)???(?1))]?[?]331?21?1?2n?12?n偶1n?1?1?(?1)n??33?[2?2?]??n?132?2?1n奇??33（6分）
（3）bn=an·an+1
11bn?[2n?(?1)n][2n?1?(?1)n?1]?[22n?1?(?2)n?1]?bn?tsn>099
12n?11n?1(?1)n?1n?[2?(?2)?1]?t?[2?2?]?0932∴当n为奇数时
12n?1nt1[2?2?1]?(2n?1?1)?0?t?(2n?1)对?n?奇数都成立?t<1933
（9分）
当n为偶数时[来源:www.shulihua.net]
12n?1t12t[2?2n?1]?(2n?1?2)?0?[22n?1?2n?1]?(2n?1)?0939313t?(2n?1?1)对?n?偶数都成立?t?62（12分）
综上所述，t的取值范围为t<1 （13分）
f(x)?21.已知函数
12x?x?(x?1)ln(x?1)2
（1）判断f(x)的单调性；
x,x(x?x2)，求证??k(x?1)（2）记?(x)?f(x?1)若函数?(x)有两个零点121??(
x1?x2)?02
解：（1）?原函数定义域为分）
记g(x)?x?ln(x?1)
??1,???，f?(x)?x?ln(x?1)， （2
g?(x)?1?分）
1x?x?1x?1， （3
??1,0?递减， ?当x?(?1,0)时，g(x)?0，g(x)在
?0,???递增， ?当x?(0,??)时，g(x)?0，g(x)在
?x???1,???,g(x)?0分）
（2）由（1）可知?(x)?x?1?lnx?k(x?1)，由题意：
，即当
?x???1,???,f?(x)?0?f(x),
在
??1,???递增 （6
x1?1?lnx1?k(x1?1)?0，
x1?k(x1?x2)x2，即有
x2?1?lnx2?k(x2?1)?0，两式相减得：k?1?x1ln1x1?x2x2，
x1?x2?lnx1?x221??()?1?k???(x)?1??k2x1?x2x又因为，所以
（9分）
x12?ln1?x1?x2x2?x1 x 2
现考察
x1?1)x2(x1?x2)xx2ln1??ln1?x1x2x1?x2x2?1x22(2t?(tl?nt?11)，令
x1?t(?0t?x21)，
设
?(t?)(t?1)2?t(0???(t)?1)2?0t??0,1?t(t?1)，则，所以?(t)在递增，所以
?(t)??(1)?0， （11分） ln即
x12(x1?x2)??0x?x2?0， x2x1?x2，又因为1??(所以
x1?x2x12)?ln1??02x1?x2x2x1?x2 （13分）