第二部分 弹塑性问题的有限元法
第四章 弹塑性体的本构理论 第五章 弹塑性体的有限元法
第四章 弹塑性体的本构理论
4-1塑性力学的基本内容和地位
塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定 材料性质的假定 1) 2) 3)
材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷； 非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；
材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。 常常根据材料在单向应力状态下的???曲线，将弹塑性材料作以下分类：
硬化弹塑性材料
?
理想弹塑性材料
?
? ?
弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)
应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为
f0?σ??0
? ? ?
软化弹塑性材料
刚塑性材料
?
(1)
2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
f0=0 f=0 3) 刻画加载面变化规律的方程叫做硬化规律(或者强化规律)。强化规律实际上定义了加载面方程中的诸强度参数关于塑性变形史参数h的方程。塑性变形史参数h可取为塑性功
wp??dwp,
dwp?σTdεp
(2)
此时称材料为工作强化材料，也可取为等效塑性应变
???d?, d???d?ppp?pT?d?1p2?
(3)
此时称材料为工作强化材料。
两个常用的强化规律是等向强化和随动强化。等向强化认为，随着塑性变形
的发展加载面的中心轴保持不便而加载面不断扩大，它适用于第一主应力的方向在整个过程中不发生反向；随动强化认为随着塑性变形的发展屈服面的尺寸保持不变，但屈服面的中心轴不断变化，它适用于第一主应力的符号在整个变形过程中不断发生改变。在岩土工程中我们更常用的是等向强化规律，此时可将加载面写成
f?σ,h??0
(4)
h是塑性变形史参数。 4)
等向强化
随动强化
当应力点位于某一加载面时，如果应力增量矢量dσ指向加载面内部，则应力点将向加载面内移动，不产生塑性变形，应力增量与应变增量之间的关系是线性的，将这一过程称之为卸载；否则，若dσ指向加载面外部，将会产生新的塑性变形，从而将使得应力点向另一加载面转移，我们将这一过程称为加载；还有一种情况是dσ是加载面的切线方向，即应力将在当前加载面上变化，将这一过程称为中性变载。因为加载面保持不变，所以塑性史参数h也将保持不动，从而也不会产生新的塑性变形。因此我们可以得到硬化材料的加卸载准则
f?0且
??0,加载???f?l???dσ???0，中性变载 ??σ???0，卸载?T (5)
卸载 加载
中性变载
对于理想弹塑性材料，即使在产生塑性变形时，应力点也始终位于屈服面上，
即应力增量矢量dσ只能位于屈服面的切线方向。因此我们可以得到理想弹塑性材料的加卸载准则
f?0且
??0，加载??f?l?? ?dσ???σ?0，卸载???T (6)
5)
当应力点位于某一加载面且处于加载状态时，将会产生新的塑性变形，流动法则就是用于描述塑性应变增量的变化规律的。流动法则认为当应力位于某一加载面且满足加载准则时，塑性应变增量dεp的方向与过该点的塑性势的梯度方向一致，即
dεp?d??g ?σ (7)
其中g?σ,h?称为塑性势函数，是已知的，d??0是塑性流动因子，是待定的。g?σ,h?与加载面函数f?σ,h?通常有相同的形式，例如，将Mohr-Coulomb准则中的摩擦角?取为剪涨角?就得到相应的塑性势函数。特别地，如果将g?σ,h?取为f?σ,h?，就称为关联流动，否则为非关联流动。注意关联流动法则可以由Drucker公设推导出来。 6)
总的应变增量dε可以分为弹性应变增量dεe和塑性应变增量dεp
dε?dεe?dεp
(8)
应力增量dσ与弹性应变增量dεe成正比
dσ?Ddεe
(9)
D为弹性矩阵，它在整个变形过程中保持不变，这又称为弹塑性互不耦合。
以上就构成了塑性本构理论的基本内容，它最终要回答dε和dσ的关系问题。 今假设?、?和h均已知，给定dε求dσ。 i)
若应力点位于加载面内，即f?σ,h??0，或应力点位于加载面上但却不在加载状态，则dσ和dε之间的关系是弹性的
dσ?Ddε
(10)
ii) 应力点位于加载面上且处于加载状态，有(9) 、(10)和(7)得
dσ?Ddε?dε?p?g???D??dε?d??
?σ?? (11)
因为应力点始终位于加载面上，所以
?f??f?df???dσ?dh?0
?h??σ?T (12)
注意到dh是塑性变形史参数，而它通常是塑性应变增量dεp的一次齐次式，由流动法则(7)可知dh应是d?的一次齐次式，因此可将其写成
dh??hd? ?? (13)
例如对于工作强化材料，有
dh?dwp?σTdεp?σT?gd? ?σ
(13.1) (13.2)
?h?wp?g??σT ?????σ
对于应变强化材料
dh?d??d?p??pT?d?1p2???g
2d?
(13.3) (13.4)
?h??p???g ????为了确定d?，今将(11)和(13)代入(12)式，
?g??f?h??f??d??0 ??D?dε?d????σ?σ?h??????T由此得，
??f???Ddε?σ?d??? T?g??f?A???D?σ??σ?T (14)
其中
??fT?g?σ,WH?w?σ?f?h??pA????
?h????f?p?g,SH???? (15)
可以证明对于硬化材料A?0，理想弹塑性材料A?0，对于软化材料A?0。
由于在位移型有限元法中，通常是已知dε求dσ，因此在加卸载准则中利用dσ并不方便，由于d?的分母对于零，所以可以在加卸载准则中用是
f?0 且
?f?fDdε来代替dσ，具体而言就?σ?σ
??0,加载???f?l????Ddε???0，中性变载
??σ???0，卸载?T (5-1)
这个加载准则对于硬化、理想弹塑性和软化都适用。
将(14)代入(11)式，可得当应力点位于加载面上且处于加载状态时的应力增量
dσ?Depdε
(16)
这里Dep为弹塑性矩阵
??g???f?D????D?σ???σ?Dp?? T?g??f?A???D?σ??σ?TDep?D?Dp,
(17)
对于关联流动法则，Dep为正定(硬化)或半正定(理想弹塑性)对称矩阵。