13.180 14.5x2?54y2?1
15. 8?.由已知易知球心为PC的中点，所以球半径R=2. 16. ① ③ .易知①对，②错，对于③，不妨设a1≥a2≥a3>0,则
1a3?1a2?1a1，
由排序原理有
a1c1?a2c2?a3c322≥
a1a1?a2a22n?a3a31x2?3，所以最小值为3；对于④，
由x1?x2???xn?0,则x?x???x,则④错
211x1????1xn,?F?x12x1?x22x2???xn2xn?x1?x2??xn=P，
三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤．）
17.解（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书” 的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”为P1. ? P1 = P(AB) = P(A)P(B)?C3C225?C4C225?950 3分
(2)设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学” 的事件为C, “从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学” 的事件为D, 由于C, D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2. P 2= P(C+D) = P(C)+P(D) =
C3C522?C4C512?C2C3C5211?C4C522?1225 6分
(3)由题意， ?可能的取值为0, 1, 2，3
9501225P(?=0) = , P(?=1) =
2212, P(?=2) =
C2C225?C4C225?C2C3C2511?C4C125?1550
P(?=3) =
C2C5?C4C5?125 9分
所以?的分布列为
? 0 9501 12252 15503 125P 10分
6
E??0?950?1?1225?2?1550?3?125?1.2 12分
18.解（1）?AB?AC?3,?bccosA?3 1分
又a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc?2bccosA 即(25)?6?2bc?2?3, ?cosA?3522?bc?5， 5分
6分
2 （2）f(x)??2cos?4?8x?sin(?4x??6)?1
?sinxcos?6?cos32cos?4xsinx??6?cos?4x
?32sin?4x??43sin(?4x??3 8分
)?y?g(x)与y?f(x)的图像关于直线x?1对称
?g(x)?f(2?x)???23?x?0,?3sin[??4(2?x)??3]?3cos(?4x??3) 10分
?6?432x??3??3
?y?g(x)的最大值是 12分
19.解法一：（1）证明过点E作EG?CF交CF于G， 连结DG，?四边形BCGE是矩形， 又四边形ABCD是矩形，
?AD//EG,AD?EG
D
A C
B G F
?四边形AEGD是平行四边形， ?AE//DG，又AE?平面DCF，
? AE//平面DCF。 3分
证法2：?AB//DC,BE//CF,
H
?平面ABE//平面DCF,E
? AE//平面DCF。 3分
（2）?平面ABCD?平面BEFC，AB?BC， ?AB?平面BEFC
过点B作BH?FE交FE的延长线于H，连结AH，? AH?FE。
故?AHB是二面角A-EF-C的平面角。 5分
?在Rt?EGF中，EG?AD?3,EF?2,??CFE?,GF?1
37
又?CEF??2,?CF?4,?332故BE?GC?3， 7分
,AB?BHtan?AHB?332?3?92?BH?BEsin?BEH
?当AB的长为
92时，二面角A-EF-C为
?3。 9分
（3）连结AF，FB，何体ABE-DCF的体积
V?VF?ABE?VF?ABCD?13?12?92?3?3?13?92?3?4?243?934?333z 4 12分
解法二：如图建立空间坐标系C-xyz， 设AB?a,BE?b,CF?c.
?C(0,0,0),A(3,0,a),B(3,0,0) E(3,b,0),F(0,c,0) 1分
D A C B x F E （1）AE?(0,b,?a),CB?(3,0,0)， BE?(0,b,0) ?CB?AE?0,CB?BE?0.
y ?CB?AE，CB?BE，所以CB?平面ABE，CB?平面DCF 2分
所以，平面ABE//平面DCF，故AE//平面DCF。 3分 （2）?EF?(?3,c?b,0),CE?(3,b,0)， 又EF?CE?0,|EF|?2
??3?b(c?b)?0，解得b=3，c=4，E(3,3,0),F(0,4,0) 5分 ??2?3?(c?b)?4设平面AEF的法向量是n=(1, y, z)，由n?AE?0, n?EF?0
33a解得n?(1,3,) 7分
因为BA?平面BEFC，BA?(0,0,a)
?3|BA?n||BA||?n|334a?272?|cos|???12,a?92 9分
（3）同解法一
20.解:(1)由(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0 得: PQ?4PC22?0 1分
8
?设P(x,y),则(x?4)?4???1, 3分 ?(x?1)?y??0,化简得: 43222x2y2点P在椭圆上,其方程为
x24?y23?1 5分
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由OA??OB?(1??)OC得：CA??CB?0，所以，
A、B 、C三点共线.且??0,得:(x1?1,y1)??(x2?1,y2)?0,即: ?x12?x1??1????x2?y1???y2
因为
4?y1322?1,所以
(?1????x2)4(?x2)422?(??y2)322?1 ① 8分
又因为
x24?y232?1,所以
?(?y2)3??2 ②
3?5?2?由①-②得:
2?(??1)x2?(??1)4?1??2 ,化简得: x2?, 10分
因为?2?x2?2,所以?2?解得:
13???3所以?3?5?2??2.
的取值范围为?,3?. 12分 ?3??1?21（1）解 由Sn?Sn?2?2Sn?1?2n?1(n?3)得Sn?Sn?1?Sn?1?Sn?2?2n?1(n?3)，
?an?Sn?Sn?1，?an?an?1?2n?1(n?3)，即an?an?1?2n?1(n?3).
又a2?a1?5?3?2，?an?an?1?2n?1(n?2)，
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?????(a2?a1)?a1
2(1?2n?1?2n?1?2n?2?2n?3?????2?3?1)1?2?3?2?1n
故数列?an?的通项公式为an?2n?1. 4分 （2）证明 ?bn?2n?1anan?1?2nn?1n?1(2?1)(2?1)?1?11??n?1?n?，
2?2?12?1??Tn?b1?b2?b3?????bn?1??11??11?1?1?????????????????? ?nn?12??35??59?2?12?1???9
?1?11?1??n?1??2?32?1?6. 8分
1?11????， n?12?32?1?（3）证明 由（2）可知Tn?1?112n?1若Tn?m，则得??2?3?1??m??0,??6????m?1?，化简得
31?6m3?12n?1?1.
，?1?6m?0，?2n?1??3??1，?n?log2??1??1， 1?6m?1?6m?当log2??1??1??1?1，即0?m?15?1?6m??3时，取n0?1即可，
当log2??11??m??1??1?1，即156?1?6m?3时，则
记log2???1??1的整数部分为S?1?6m???1?6?3，取n0?S?1即可，
综上可知：对任意的m??0，?均存在n0?N?使得式（2）中的Tn?m成立. 12分 22. 解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，
bx2x?2x?bx22(x??12)?b?x212 (x?0)
f'(x)?2x?2??当b??
12时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增． 4分
（2）当b?0时f?(x)?0有两个不同解，
12121?2b21?2b212121?2b2x1??, x2??
x1???0?(0,??)，舍去，
而x2??1?2b2?1?(0,??),
10
此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：
x f?(x) f(x)(0,x2) x2 (x2，??) ? 0 ? 减 极小值 121?2b2增 ， 8分
由此表可知：?b?0时，f(x)有惟一极小值点, x??（3）由(2)可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)2?lnx， 此时f(x)有惟一极小值点 x?1?2312?1?2b21?2?1?233
且x?(0,)时，f'(x)?0, f(x)在(0,)为减函数
?当 n?3 时， 0? 1?1??恒有 f(1)?f(1?1n1n?43?1?21n1n23，?ln(1?1n))，即恒有 0? 11分
2?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ? 成立（x?0) 令函数h(x)?(x?1)?lnx 则 h'(x)?1?1x?x?1x
?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数?n?3 时 1?1?1n ?h(1?1n)?1n1n1n?ln(n?1)?lnn?1n2)?h(1) 即 1n?ln(1?1n)?0?ln(n?1)?lnn?ln(1?
综上述可知 n?3 时恒有 14分
11