衡阳师范学院数学与计算科学系
数学建模期末考试
课程名称： 数学建模
论文题目： 客观、合理评价学生学习状况的数学模型
系 别： 数学 年级：11级 专业班： 信息与计算科学
学 生 姓 名 李美霞、李思纯、周 欢
学 号 11100111、11100114、11100139
负责人电话号码 15673424342
开 课 时 间： 2013 年 上 学 期
成 绩 授课教师
宫兆刚 客观、合理的评价学生学习状况
摘 要
目前对学生学习状况的评价相对来说是以分数为主，以测试成绩的高低来评价学生的学习优劣。这种评价方式单一，忽略了不同基础水平同学的进步程度以及测试本身的局限性，像基础相对较差的学生和基础相对要好的同学，在现行的评价学生学习状况的制度里就显得不是那么的完善。因而我们需要建立一个客观、更合理的评价学生学习状况的数学模型。然对于我们大学生多学科、多方面等因素影响学习成绩评价，建立一个客观、合理的评价学生学习状况的数学模型就更为必要了。通过以上考虑，本文试通过回答以下几个问题来达到目的。 问题一：
通过分析自班所给的39名学生的整体成绩情况，其中包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过所给数据，得到图表。整体情况为：及格率为100%，平均分基本在70分以上，全班整体成绩良好。
问题二：
为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，采用学生每个学期的成绩和进步情况作为指标,我们采用了两种方法：
模糊层次分析法：考虑到每次考试的难易度不同先通过分数转换将学生的成绩转换成“标准分”，且进步度=进步率×学生的成绩平均分。通过糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量w，再利用模糊层次分析方法得出学生i学习状况的综合评定指标假设如下：
Ci?k1?x1i?k2?x2i?k3?x3i?k4?x4i?k5?x5i?k6?x6i?k7?x7i
Hale模型进步法分析：先计算标准分，再代入公式 y?e?Tk?e?Tk?1
其中Tk、Tk?1是学生第k和第k-1次的成绩（标准分），?是反应进步难度的进步难度系数，y就是反应一个学生取得进步的指标，我们称之为“进步分”。这个模型很好地消除了基础
差异在考虑取得的进步是的影响。当成绩从T0进步到?T时，进步分
y?e?(T0??T)?e?T0?e?T0(e?T?1)
由于?T>0，因此当?T相同时进步分y随T0的增大而增大。也就是说，当取得同样的进步时，初始成绩越好进步分越大，从而得出评价学生成绩好坏的指标。
问题三： 根据不同的评价方法预测这些学生后两个学期的学习情况 灰色预测模型：利用matlab编辑预测函数
u??xi(k?1)=xi(k?1)?xi(k)=?xi0(1)??e?ak(1?ea)算出第i个学生第j学期的预测
a???0?1?1成绩。再利用这个函数来分别算出已知学期学生的成绩与原始的数据进行残差检
验，分别求出他们的绝对误差与相对误差判断得知该模型型建立是合理、客观和全面的。预测结果如下： 学期 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 83 4 5 74.26 82.31 73.52 81.97 72.84 69.71 66.43 70.67 82.15 81.09 84.40 79.33 83.72 80.21 71.95 76 80.3 85.66 87.4 关键字：模糊层次分析 Hale模型进步法分析 权重 灰色模型预测法
一、问题重述
评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。
然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。
学生连续三个学期的综合成绩（具体成绩以自己班级11级信息班为例）。 1.请根据数据，对这些学生的整体情况进行分析说明；
2.请根据数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；
3.试根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。
二、 问题分析
问题一：根据统计学知识，我们认为39名学生的整体情况应该包括每个学期整
体的平均成绩、最高分、最低分、极差、中位数、方差、标准差、偏度等多项指标。通过班级3个学期所给的数据进行统计整理，我们可以得到各学期的相关指标，并对其分布进行正态性检验，通过各项指标的对比还可以对3个学期成绩分布之间的相关性进行研究。我们也可由此对学生的整体情况进行全面、直观、科学的说明。
问题二：我们认为评价一个学生的学习状况可以有多方面的因素，诸如学习环境、学习基础、考试难度、进步状况等。但是由于成绩表中只给出了39名学生连续3个学期的综合成绩，如果从多个因素着手就会脱离客观现实，具有不可操作性，因此，我们只能着眼于学生的学习综合成绩和进步状况。本题所用的两种模型就只针对这两类因素展开，层次分析图如下：
目标层： 学生学习情况综合评价A
准则层： 学生实际成绩B1 学生成绩进步情况B2
指标层： 第 第 第 第 第 一 二 三 二 三 学 学 学 学 学 期 期 期 期 期 成 成 成 进 进 绩 绩 绩 步 步 度 度 c1 c2 c3 c4 c5
对于该问题我们采两个不同的模型进行： 模型一：
我们考虑到的是成绩与进步度的影响因素，由于每学期的难易度不同，我们可以将其转换成“标准分”，这样既降低了这方面的误差，又排除了不同基础水平的同学进步情况受影响的因素，可以令进步度=进步率×学生的成绩平均分。接着就可以根据模糊层次分析的原理进行建模与求解。 模型二：
用指数函数来反应进步，先计算标准分，再代入公式 y?e?Tk?e?Tk?1
其中Tk、Tk?1是学生第k和第k-1次的成绩（标准分），?是反应进步难度的进步难度系数，y就是反应一个学生取得进步的指标，我们称之为“进步分”。这个模型很好地消除了基础差异在考虑取得的进步是的影响。当成绩从T0进步到?T时，进步分
y?e?(T0??T)?e?T0?e?T0(e?T?1)
由于?T>0，因此当?T相同时进步分y随T0的增大而增大。也就是说，当取得同样的进步时，初始成绩越好进步分越大，从而得出评价学生成绩好坏的指标。
三、模型的假设
1.假设每个学期的总和成绩的满分为100分； 2.假设每个学期的学生人数不会变动； 3.假设每位学生所处的学习考试环境相同； 4.每位学生的学习能力基本保持不变；
5.以后两个学期记分方式与前面3个学期记分方式相同。
四、模型的建立与求解
1、对学生整体成绩进行分析
利用附件中所给的数据进行统计，得到了学生成绩总体分布的情况如图所示。
图一