因为数列 ???? 是等差数列，
所以 ??1+??3=2??2，即 2??2???1=3,???② 由 ①② 得 ??1=1，??2=2， 所以 ????=??，??=2， 所以 ??1=4，??3=16， 所以 ???? 的公比 ??=±
??3??1
=±2，
所以 ????=2??+1 或 ????= ?2 ??+1． （2） 由（1）知 ????=
2
1
1
?? 1+?? 2
，
所以 ????=?? ??+2 =?????+2， 所以
111111111=1?+?+?+?+?+?
32435???1??+1????+2111
=1+??
2??+1??+232??+3=?2.2??+3??+218. （1） 设高一女学生人数为 ??，
????
由表 1 和 2 可得样本中男女生人数分别为 40，30， 则
700?????
=
4030
，解得 ??=300．
因此高一女学生人数为 300．
（2） 表 1 和 2 可得样本中男女生身高在 165,180 的人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为 70． 所以样本中该校学生身高在 165,180 的概率为 70=5． 估计该校学生身高在 165,180 的概率为 5． （3） 由题意可得：?? 的可能取值为 0，1，2．
由表格可知：女生身高在 165,180 的概率为 3，男生身高在 165,180 的概率为 5．
所以 ?? ??=0 = 1? × 1? =，?? ??=1 =× 1? + 1? ×=，?? ??=2 =×
53155353155
1
4
1
2
4
1
4
1
9
4
4
1
4
3
42
3
=15． 3
所以 ?? 的分布列为：
????
所以 ?? ?? =0+1×15+2×15=15． 19. （1） 取 ???? 中点 ??，连接 ????，????．
9
4
17
012
294 151515第6页（共10页）
因为 ?? 是 ???? 的中点， 所以 ????∥????． 因为 ????=2????， 所以 ????=????． 因为 ∠??????=∠??????，
所以 ??，?? 到直线 ???? 的距离相等，则 ????∥????， 因为 ????∩????=??，
所以 面??????∥平面??????，则 ????∥平面??????．
（2） 以点 ?? 为原点，建立如图所示的直角坐标系 ?????????，
设 ????=1，则 ????=2， 取 ???? 中点 ??，则 ????∥????， 所以 ????=3，
因为 ????=????，则 ?? 0,0, 3 ，?? 0, 3,0 ，?? 2,0,0 ，?? 2, 2,
1 3 ,0 ， ????2
13 32
= 0, 3,? 3 ，???? =,0 ． ????
= 2,? 3,0 ．
??
3??2
= 3??? 3??=0，?? =+设平面 ?????? 的法向量 ?? = ??,??,?? ，?? ????? ?????2 ? 令 ??=1，则 ?? = ? 3,1,1 ， ,???? cos??? =所以 ???? 与平面 ?????? 所成角的正弦值为：由 ????1 ? ????2 =??． 所以 ????1 =2??=3 ????2 ，
则 2+?? 2+2=3 2??? 2+2， 化简得：??2?5??+6=0， 由 ??
3
3 3 5× 7=0，
=
3 10535
．
3 10535
．
20. （1） 由椭圆的定义可知： ????1 + ????2 =2??．
第7页（共10页）
所以 ??=2，
则 ????1 =3 2=2??，
则 ??=2 2，??2=??2???2=4， 所以椭圆的标准方程为：
??28
3
+
??24
=1．
（2） 由题意可知，直线 ?? 不过原点，设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ， ①当 直线??⊥??轴，直线 ?? 的方程 ??=?? ??≠0 ，且 ?2 2
所以 ??1??2+??1??2=0，即 ??? 4?解得：??=±
2 63
2
??22
??22
??22
，??2=??，??2=? 4?
，
=0，
，
2 63
故直线 ?? 的方程为 ??=±，
2 63
所以原点 ?? 到直线 ?? 的距离 ??=
??2
??2
，
②当直线 ???? 的斜率存在时，设直线 ???? 的方程为 ??=????+??， =1,4则 8 消去 ?? 整理得： 1+2??2 ??2+4??????+2??2?8=0， ??=????+??,??1+??2=?1+2??2，??1???2=1+2??2． 则
??1??2
= ????1+?? ????2+??
=??2??1??2+???? ??1+??2 +??2
??2?8??2=,1+2??2=0，
4????
2??2?8
+
⊥???? ， 由 ????
所以 ??1??2+??1??2=0，故 1+2??2+则原点 ?? 到直线 ?? 的距离 ??=所以 ??2= ?? 2
??2
1+?? ?? 1+??23??2
2??2?8
??2?8??21+2??2
2
整理得：3??2?8??2?8=0，即 3??=8??2+8,???①
，
=1+??2=3 1+??2 ,???② 22
8??2+8
3 1+??2
将 ① 代入 ②，则 ??=因为 ??>0， 所以 ??=
2 63
=3，
8
，
2 63
综上可知：点 ?? 到直线 ?? 的距离为定值 21. （1） 求导，??? ?? =?????=
1
?????1??
．
，??? ?? =e??+??，??>0，
当 ??<0 时，??? ?? <0 在 0,+∞ 上恒成立，即 ?? ?? 在 0,+∞ 上单调递减， 当 ?1???<0 时，??? ?? >0，即 ?? ?? 在 0,+∞ 上单调递增，不合题意，
第8页（共10页）
当 ??0，得 ??>ln ??? ，由 ??? ?? <0，得 0
（2） ??? ?? =e?????1+????e?????1????= ????+1 e?????1? ，
????由 e?????1???=0，解得：??=
1
1?ln????
1
1
，设 ?? ?? =
1?ln????
，则 ??? ?? =
ln???2??2，
1
当 ??>e2 时，??? ?? >0，当 0
从而 ?? ?? 在 0,e2 上单调递减，在 e2,+∞ 上单调递增，?? ?? min=?? e2 =?e2， 当 ??≤?e2 时，??≤
11
1
1?ln????
1
，即 e?????1???≤0，
在 0,? 上，????+1>0，??? ?? ≤0，?? ?? 单调递减，
??在 ?,+∞ 上，????+1<0，??? ?? ≥0，?? ?? 单调递增，
??
1
所以 ?? ?? min=?? ??? =??，
设 ??=???，??∈ 0,e2 ，??=?? ?? =e2?ln??+1 0
22. （1） 将 ??，??，?? 三点化成普通坐标为 ?? 0,0 ，?? 0,2 ，?? 2,2 ． 所以圆 ??1 的圆心为 1,1 ，半径为 2，
所以圆 ??1 的普通方程为 ???1 2+ ???1 2=2，
??=??cos??,将 代入普通方程得 ??2?2??cos???2??sin??=0，
??=??sin??所以 圆 ??1 的极坐标方程是 ??=2 2sin ??+4 ．
??=?1+??cos??, （2） 因为圆 ??2 的参数方程为 （?? 是参数），
??=?1+??sin??所以圆 ??2 的普通方程为 ??+1 2+ ??+1 2=??2． 所以圆 ??2 的圆心为 ?1,?1 ，半径为 ?? ， 因为圆 ??1 与圆 ??2 外切，
所以 2 2= 2+ ?? ，解得 ??=± 2．
23. （1） 当 ??=2 时，?? ?? =??? ???2 取最大值为 ??，
因为 ?? ?? = ??+1 + ???3 ≥4，当且仅当 ?1≤??≤3，?? ?? 取最小值 4， 因为 关于 ?? 的不等式 ?? ?? 4，即实数 ?? 的取值范围是 4,+∞ ． （2） 当 ??=2 时，?? ?? =5， 则 ?? 2 =?2+??+2=5，解得 ??=
7
7
132
7
π
1
11
??
，
第9页（共10页）