椭圆方程及性质的应用
教学目标
1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)
2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)
3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 x2y2
设点P(x0，y0)，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0).
x2y2x2y20000
(1)点P在椭圆上?a2＋b2＝1；(2)点P在椭圆内?a2＋b2＜1； x2y200(3)点P在椭圆外?a2＋b2＞1. 课堂练习
x2y2
已知点(2,3)在椭圆m2＋n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外 ③点(－2，－3)在椭圆内
②点(3,2)在椭圆上 ④点(2，－3)在椭圆上
【解析】 由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上. 【答案】 ④
教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定
y＝kx＋m，??xy
直线y＝kx＋m与椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)联立?x2y2消去y得一个
＋＝1，22??ab
2
2
一元二次方程.
位置关系 相交 相切 相离 解的个数 两解 一解 无解 Δ的取值 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
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2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝
1
1＋k2·|y1－y2|.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) x2y2
(1)点P(2,1)在椭圆4＋9＝1的内部.( )
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) y2
(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x＋2＝1相交.( )
2
(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
例题分析
(1)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)x2y2
的直线与椭圆9＋4＝1的交点个数为( )
A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个
(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，问m为何值时，直线与椭圆相切、相交？
【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d＝
4m＋n
2
2
＞2，
2222m＋nmn
∴m2＋n2＜4，即4＜1.∴9＋4＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直
线与椭圆有2个交点. 【答案】 A
(2)将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1， 消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0. Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
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5
当Δ＝0时，得m＝±2，直线与椭圆相切. 55
当Δ＞0时，得－2＜m＜2，直线与椭圆相交. 小结
1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.
2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解. [再练一题]
1.已知椭圆的方程为x2＋2y2＝2.
(1)判断直线y＝x＋3与椭圆的位置关系； (2)判断直线y＝x＋2与椭圆的位置关系；
(3)在椭圆上找一点P，使P到直线y＝x＋2的距离最小，并求出这个最小距离. ??y＝x＋3，【解】 (1)由?得3x2＋43x＋4＝0，
22??x＋2y＝2，∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0，∴直线y＝x＋3与椭圆相切. ??y＝x＋2，
(2)由?得3x2＋8x＋6＝0.
22??x＋2y＝2，
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y＝x＋2与椭圆相离.
(3)由(1)、(2)知直线y＝x＋3与椭圆的切点P满足条件，由(1)得P的坐标为|2－3|6?233??－?，最小距离d＝＝2－2.
3，3??2
x2y2
已知椭圆36＋9＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两1
点.(1)当直线l的斜率为2时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
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【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.
1
【自主解答】 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝2(x－4)， 1y＝??2x，1
即y＝2x.由?2
xy2??36＋9＝1，
可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝＝15?x1－x2?2＋4?x1－x2?2＝2
?x1－x2?2＋?y1－y2?2
5
?x1＋x2?2－4x1x2＝2×62＝310.
所以线段AB的长度为310. (2)法一：设l的斜率为k，
x2y2
?36＋9＝1，
则其方程为y－2＝k(x－4).联立?
?y－2＝k?x－4?，
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 32k2－16k
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
1＋4k2
x1＋x216k2－8k
由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以2＝＝4， 2
1＋4k11
解得k＝－2，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y－2＝－2(x－4)， 1
即y＝－2x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
22x1y1??36＋9＝1，则有?22
x2y2??36＋9＝1，
222
x22－x1y2－y1
两式相减得36＋9＝0，
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y2－y19?x2＋x1?
整理得kAB＝＝－，由于P(4,2)是AB的中点，
x2－x136?y2＋y1?∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB＝－
9×81
＝－2， 36×4
11
于是直线AB的方程为y－2＝－2(x－4)，即y＝－2x＋4. 小结
1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)x2y2
是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
2x1y21?2＋2＝1， ①?ab则?2
x2y22
2＋2＝1， ②??ab
11222
由①－②，得a2(x21－x2)＋2(y1－y2)＝0， b
y1－y2b2x1＋x2b2x0b2x0变形得＝－a2·＝－a2·y0，即kAB＝－a2y0. x1－x2y1＋y2[再练一题]
x2y23
2.椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程.
31
【解】 ∵e＝2，∴b2＝4a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2. 与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0， 5
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝4×[64－2(64－a2)].
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