x2y2
∴a＝36，b＝9. ∴椭圆的方程为36＋9＝1.
2
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探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？
【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围. x2y2
(2)解决椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)中的范围问题常用的关系有
①－a≤x≤a，－b≤y≤b；②离心率0＜e＜1；③一元二次方程有解， 则判别式Δ≥0.
已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值. →→
【精彩点拨】 (2)中，设A，B坐标→OA·OB＝0→|AB|化为关于x0的函数→求最值.
x2y2
【自主解答】 (1)由题意，椭圆C的标准方程为4＋2＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2. c2
故椭圆C的离心率e＝a＝2.
→→
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA·OB2y0＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－x.
0
又
2y0?222222?x＋?x0＋2y0＝4，所以|AB|＝(x0－t)＋(y0－2)＝0x?＋(y0－2)2 ?0?
2224－x2?4－x?004yx2800222
＝x0＋y0＋x2＋4＝x0＋2＋x2＋4＝2＋x2＋4(0＜x20≤4).
000
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x2802因为2＋x2≥4(0 0所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22. 小结 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件. [再练一题] x2y26 3.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的 ab3距离为3，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B. (1)求椭圆的方程； 3 (2)若坐标原点O到直线l的距离为2，求△AOB面积的最大值. c6 【解】 (1)由a＝3，a＝3， x22 所以c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为3＋y＝1. (2)由已知 33 ＝2，所以m2＝4(1＋k2)， 1＋k2|m| x22 联立l：y＝kx＋m和3＋y＝1，消去y，整理可得： 23m－3222 (1＋3k)x＋6kmx＋3m－3＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝， 22 1＋3k1＋3k222 12?1＋k??3k＋1－m?222 所以|AB|＝(1＋k)(x1－x2)＝ ?1＋3k2?2 －6km ＝3?k2＋1??9k2＋1? ?1＋3k2?2 12k212 ＝3＋4＝3＋≤4(k≠0)， 2129k＋6k＋19k＋k2＋6 第 7 页 共 9 页 33 当且仅当k＝±3时取等号，验证知k＝±3满足题意， 133 显然k＝0时，|AB|2＝3＜4.所以(S△AOB)max＝×2×＝. 222 x2y2 1.已知椭圆a2＋b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则该椭圆的焦点坐标是( ) A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±5，0) D.(0，±5) 【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a＝2，b＝1，∴c＝3.椭圆焦点坐标为(±3，0). 【答案】 A x2y2 2.若直线y＝kx＋2与椭圆3＋2＝1相切，则斜率k的值是( ) 6663A.3 B.－3 C.±3 D.±3 x2y2 【解析】 把y＝kx＋2代入3＋2＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 26 由于Δ＝0，∴k2＝3，∴k＝±3. 【答案】 C x2y2 3.直线y＝x＋2与椭圆m＋3＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ) A.m>1 B.m>1且m≠3 C.m>3 D.m>0且m≠3 【解析】 ?y＝x＋2，由?x2y2 ?m＋3＝1， 得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 由Δ>0且m≠3，得m<0或m>1且m≠3， 又∵m>0，∴m>1且m≠3. 【答案】 B x2y2 4.若过椭圆16＋4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________. x2y2x2y21122 【解析】 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则16＋4＝1，16＋4＝1，两 第 8 页 共 9 页 y1－y21 式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得＝－2，∴所求直线方程为y－1＝ x1－x21 －2(x－2)，即x＋2y－4＝0. 【答案】 x＋2y－4＝0 y2x2 5.如图2-1-4，已知斜率为1的直线l过椭圆8＋4＝1 的下焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 【解】 令点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由椭圆方程知a2＝8，b2＝4，∴c＝ a2－b2＝2， ∴椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)， ∵直线过点B(2,0)和点F(0，－2)，∴直线l的方程为y＝x－2. y2x244 将其代入8＋4＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－3， ∴|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2＝ 2?x2－x1?2＝2?x1＋x2?2－4x1x2 ＝2?4?2?4?82?3?－4×?－3?＝ 3. ???? 第 9 页 共 9 页