11C4C1456, P(??3)?P(??1)??2C181532C42P(??5)?P(??2)?2?, ?????????????????????10分
C1851所以?的分布列为
?
1
91 153P
3 56 1535 2 51 ?????????????????????????11分 所以E(?)?1?9156217?3??5??. ?????????????????12分 15315351919．（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)连结BD和AC交于O，连结OF， ????????????????1分 ?ABCD为正方形，?O为BD中点，?F为DE中点，
?OF//BE，???????????????????????????????3分 ?BE?平面ACF，OF?平面ACF
?BE//平面ACF．????????????????????????????4分
(Ⅱ)?AE?平面CDE，CD?平面CDE，
BzA?AE?CD，
?ABCD为正方形，?CD?AD，
O?AE?AD?A,AD,AE?平面DAE，
xyCEFD?CD?平面DAE，
?DE?平面DAE，?CD?DE ????????????????????6分
?以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，
则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,0)
?AE?平面CDE，DE?平面CDE，?AE?DE
?AE?DE?2，?AD?22
?ABCD为正方形，?CD?22，?C(0,22,0)
????????????由ABCD为正方形可得：DB?DA?DC?(2,22,2)，?B(2,22,2)
??设平面BEF的法向量为n1?(x1,y1,z1)
- 6 -
????????BE?(0,?22,?2)，FE?(1,0,0)
?????????22y1?2z1?0??n1?BE?0??由??????，令y1?1，则z1??2 ?x1?0????n1?FE?0???n1?(0,1,?2) ?????????????????????????????8分
???设平面BCF的法向量为n2?(x2,y2,z2)，
????????BC?(?2,0,?2)，CF?(1,?22,0)
??????????2x2?2z2?0n?BC?0??2?由??? ，令y2?1，则x2?22，z2??22 ??????x?22y?0n?CF?0??22?2?????n2?(22,1,?22) ??????????????????????????10分
设二面角C?BF?E的平面角的大小为?，则
???????????????n?n21?4551??? ??cos??cos(???n1,n2?)??cos?n1,n2?????1??51|n1|?|n2|3?17?二面角C?BF?E的平面角的余弦值为?20．（本小题满分12分）
解：（I）设圆心P的坐标为(x,y)，半径为R
2222由于动圆P与圆F1:(x?3)?y?81相切，且与圆F2:(x?3)?y?1相内切，所以动 22圆P与圆F1:(x?3)?y?81只能内切
551 ??????????????12分 51?|PF|?9?R?|PF1|?|PF2|?8?|F1F2|?6 ???????????????2分 ??1?|PF2|?R?1?圆心P的轨迹为以F1, F2为焦点的椭圆，其中2a?8, 2c?6， ?a?4, c?3, b2?a2?c2?7
x2y2??1 ??????????????????????4分 故圆心P的轨迹C：
167（II）设M(x1,y1), N(x2,y2), Q(x3,y3)，直线OQ:x?my，则直线MN:x?my?3
- 7 -
22?2?2112m112m?x?myx?x3???22???27m?167m?16 2由?x可得：?， ??y?1?y2?112?y2?112???167??37m2?167m2?16??112m2112112(m2?1)?|OQ|?x3?y3??? ???????????6分 2227m?167m?167m?16222?x?my?3?由?x2y2可得：(7m2?16)y2?42my?49?0
?1???167?y1?y2??42m49,yy?? 127m2?167m2?16?|MN|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?[(my2?3)?(my1?3)]2?(y2?y1)2?m2?1|y2?y1|?m2?1(y1?y2)2?4y1y2
42m24956(m2?1)????????????8分 ?m?1(?2)?4(?2)?27m?167m?167m?16256(m2?1)2|MN|7m?16?1 ??|OQ|2112(m2?1)27m2?161?|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为??????????????9分
2（III）?MN//OQ，??QF2M的面积??OF2M的面积，?S?S1?S2?S?OMN
?O到直线MN:x?my?3的距离d?3m?12 1156(m2?1)384m2?1 ??????????11分 ?S?|MN|?d????222227m?16m?17m?16令m2?1?t，则m?t?1(t?1)
22S?84t84t84 ??2297(t?1)?167t?97t?t939914?7t??27t??67（当且仅当7t?，即t?，亦即m??时取等号）
t7tt7 - 8 -
?当m??14时，S取最大值27????????????????????12分 711?a?a?2 xx21. 函数f(x)的定义域为(0,??)，f'(x)?(Ⅰ)当a?1时，f(x)?lnx?x?1，
?f(1)??2,f'(x)?1?1,?f'(1)?0 x ∴f(x)在x?1处的切线方程为y??2
11?a?ax2?x?(1?a)?(x?1)[ax?(1?a)]?(Ⅱ)f?(x)??a?2? ，f(x)的定义域为(0,??) 22xxxx 当a
?0时，f?(x)?x?1，f(x)的增区间为(1,??)，减区间为(0,1) x2 当a?0时，
1?a11?a1?a?1，即0?a?时，f(x)的增区间为(1,)，减区间为(0,1) ，(,??) a2aa1?a1?1，即a?时 ， f(x)在 (0,??)上单调递减 a21?a1?1，即a?或a?0时， a211?a1?a,1)，减区间为(0,),(1,??) a?时，f(x)的增区间为(2aa1?a1?a),(1,??);减区间为（,1) a?0时，f(x)的增区间为(0,aa1(Ⅲ)当a?时，由(Ⅱ)知函数f(x)在区间(1,2)上为增函数，
32所以函数f(x)在?1,2?上的最小值为f(1)??
3
若对于?x1?[1,2],?x2?[0,1]使f(x1)?g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于
2f(x)在[1，2]上的最小值?（*）
355又g(x)?x2?2bx??(x?b)2?b2?,x??0,1?
1212①当b?0时，g(x)在上?0,1?为增函数，
52??与（*）矛盾 12352②当0?b?1时，g(x)min?g(b)??b?，
12g(x)min?g(0)?? - 9 -
2由?b?521??及0?b?1得，?b?1 1232③当b?1时，g(x)在上?0,1?为减函数，
g(x)min?g(1)?
72?2b??， 此时b?1 123综上所述，b的取值范围是?,???
22.证明：（I）在?ABC中，由BD??1?2??11BC,CE?CA,知： 33?ABD≌?BCE，??????2分
??ADB??BEC即?ADC??BEC??.
所以四点P,D,C,E共圆；??????5分 （II）如图，连结DE.
在?CDE中，CD?2CE,?ACD?60, 由正弦定理知?CED?90.??????8分 由四点P,D,C,E共圆知，?DPC??DEC, 所以AP?CP.??????10分 23．解.（I）?的普通方程为y?联立方程组则|AB|?1.
??
3(x?1),C1的普通方程为x2?y2?1. ?13?y?3(x?1),解得?与C1的交点为A(1,0),B(,?), ?2222??x?y?1,1cos?,132sin?),(?为参数).故点P的坐标是(cos?,322sin?.2?x??? （II）C2的参数方程为??y???从而点P到直线?的距离是
- 10 -
33cos??sin??3|3?22 d??[2sin(??)?2],
2446?由此当sin(??)??1时,d取得最小值,且最小值为(2?1).
44|24.解：（Ⅰ）由2x?a?a?6得2x?a?6?a，∴a?6?2x?a?6?a，即a?3?x?3， ∴a?3??2，∴a?1。┈┈┈┈5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??2x?1?1,令??n??f?n??f??n?，
??2?4n, n??1?2则，??n??2n?1?2n?1?2???4, ?1?1?2n?2
??1?2?4n, n?2∴??n?的最小值为4，故实数m的取值范围是?4,???。┈┈┈┈┈10分
- 11 -