北 京 交 通 大 学
2006----2007学年第一学期《随机数学》期中考试试卷
一、本题满分30分，每小题5分
1.设事件A，B，C两两独立，且P(A)?0.3,P(B)?0.2,P(C)?0.6,
ABC??,求P(AB?C).
解：P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?0.2?0.6?0.12?0.68 ??1分
P(AB?AC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)?0.06?0.18?0.24 ??2分
P(A(B?C))P(B?C)P(AB?AC)P(B?C)0.240.68617 P(AB?C)???? ??2分
2. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中1张拿到验钞机上检验， 结果发现是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。
解：A=“抽出的2张中至少有一张是假钞”， B=“抽出的2张全是假钞” ??1分 P(A)?1?P(A)?1?C15C2202?1738，P(AB)?P(B)?C5C2220?119, ??2分
P(BA)?P(AB)P(A)?217 ??2分
?4x33.设随机变量X的概率密度函数f(x).???00?x?1其它，
若数a使P{X?a}?P{X?a}，求a.
解：显然 0?a?1， ??1分
且
?a04xdx?3?1a4xdx ??2分 123a
4?1?a4,?a?4 ??2分
1
4．已知随机变量X的可能取值为-1，0，1，2，其相应的 概率依次为（1）求c的值；（2）求X的分布函数 解：（1）由分布律的性质 ?pk?1，知
k12c,34c,58c,18c,
12c,34c?58c?18c?1, c?2 ??2分
x??0?1?1?x??4?5（2）F(x)??0?x8??151?x?16?2??1?1?0?1 ??3分 ?2x5．某种布每平方米的疵点数X服从??2的泊松分布，求每平方米这种布的疵点数多于1不超过4的概率。
解：X的分布律：P{X?k}?2kk!e?2 ， ??1分
P{每平方米这种布的疵点数多于1不超过4}=P{1?X?4} ??1分
?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}?4e?2 ??3分
6．设随机变量X,Y相互独立，且都服从参数为5的指数分布，求 P{min(X,Y)?5}； ?1?1x?e5x?0解： f(x)??5 , ??1分
?x?0?0P{X?5}?e?55?e?1 ??1分
?2(,Y)?5}?1?P{minX(,Y)?5}?1?P{X?5}P{Y?5}?1?e P{minX
??3分
2
二．本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分． 7. 设某城市男子身高（单位cm）X~N(170,36)，
若公共汽车车门的高度为176cm, 求3个男子同时乘车至少有1人 与车门碰头的概率。
(?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(2.33)?0.9901)
解： 任一男子身高超过176的概率为：
p?P{X?176}?1?P{X?176}?1?P{X?1706?176?170} 6 ?1??(1)?1?0.8413?0.1587 ??4分
Y=“3个男子同时乘车与车门碰头的人数”，则Y~b(3,0.1587)??1分 B=“3个男子同时乘车至少有1人 与车门碰头”
P(B)?P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(0.8413)?0.4045 ??3分
38．对圆片直径进行测量，测量值X~U[5,6]，求圆片面积Y的概率密度。 ?解：X的概率密度 fX(x)???105?x?6其它 ， Y??4X ??2分
2 5?x?6时，y??4x 严格单增处处可导，其反函数为
2x?h(y)?2?y ，??254?,??9? ??2分
254??y?9? 时，
211fY(y)?fX[h(y)]h?(y)?fX(?y)?y??y， ??2分
3
??圆片面积Y的概率密度 fY(y)????12540?y??y?9?其它 ??2分
9．甲、乙两人约定在某地相会，假定每人的到达时间是相互独立的，且均服从中午12时 到下午1时的均匀分布。试求先到者需等待20分钟以内的概率。
解；设甲于12时X分到达，乙于12时分到达 ，则X，Y相互独立，且都服从[0，60]上的均匀分布。 ??2分
?1?fX(x)??60??0?1?f(x,y)??3600?0?0?x?60其它 ， ??1分
0?x?60,0?y?60其它 ??1分
A=“先到者等待20分钟” ={X?Y?20} P(A)?P{X?Y?20}???f(x,y)dxdy?3600?40?403600?59 ??4分
x?y?2010．设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为
?3x0?x?1,0?y?x f(x,y)??其它?0求随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 ?3x解：f(x,z?x)???0?0?x?1,0?z?x?x其它 ， ??1分
f(z)????f(x,z?x)dx ??2分
z?0,z?2,f(z)?0 ??1分
4
10?z?2,f(z)??3xdxz2?32(1?z24) ??3分
2?3z?(1?)0?z?2
??1分 f(z)??24?0其它?
11． 设随机变量X和Y相互独立，且X~b(1,131513),Y~b(1,p)，
P{XY?0}?，（1）求p的值； （2）求X和Y的联合分布律；（3）求
Z=max(X,Y) 的分布律. 解：（1）P{XY?1}?1?1315?215，P{X?1,Y?1}?13215215 25P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}，
25p?415，p? 。??3
（2）P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?15，P{X?0,Y?1}?
， ??3分
25（3）P{Z?0}?P{max(X,Y)?0}?P{X?0,Y?0}? ，
P{Z?1}?P{max(X,Y)?1}?1?25?35 ， ??2分
三．本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．
12．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。
（1） 求先抽到的一份是女生表的概率；
（2） 已知先抽到的一份是女生表，求后抽到的一份是男生表的概率。
5