组卷二次函数中等题31-60 ∵AC⊥x轴， ∴AC∥EK． ∵点E是线段AB的中点， ∴K为BC的中点， ∴EK是△ACB的中位线， ∴EK=AC=2，CK=BC=2， ∴E（t+2，2）． ∵点E在抛物线y1=x（x﹣t）上， ∴（t+2）（t+2﹣t）=2， 解得t=2． （3）如图2，，则x=ax（x﹣t）， 解得x=+t，或x=0（不合题意，舍去）．． +t． +t， 故点D的横坐标是当x=+t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4=解得a=（t≥4）． 点评： 本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度
5
级
59．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直
2
线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；
组卷二次函数中等题31-60
（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．
考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： 2（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可； （2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可； 2（3）先把直线AB与x轴的距离是m代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答： （1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0）， ∵抛物线过点（0，）， ∴a（0﹣1）=， 解得a=， ∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）， 一般形式为y=x﹣x+； （2）解：当m=2时，m=4， ∵BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标为4， ∴（x﹣1）=4， 解得x1=5，x2=﹣3， ∴点B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣5，4），
22222组卷二次函数中等题31-60 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣5﹣1）﹣h=4， 解得h=5； （3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m， 2∴点B、C的纵坐标为m， ∴（x﹣1）=m， 解得x1=1+2m，x2=1﹣2m， 2∴点C的坐标为（1+2m，m）， 又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m）， ∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣1﹣2m﹣1）﹣h=m， 解得h=2m+1， 22∴EF=h+m=m+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=， 222222222∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点． 组卷二次函数中等题 难度
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5
级
60．（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．
组卷二次函数中等题31-60
考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标； （2）线段BC的长即为AP+CP的最小值； （3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可． 解答： 2解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）﹣（a≠0） ∵抛物线经过（0，2） ∴a（0﹣4）﹣=2 解得：a= ∴y=（x﹣4）﹣ 即：y=x﹣x+2 当y=0时，x﹣x+2=0 解得：x=2或x=6 ∴A（2，0），B（6，0）； （2）存在， 如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4， 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小 ∵B（6，0），C（0，2） ∴OB=6，OC=2 ∴BC=2， ∴AP+CP=BC=2 ∴AP+CP的最小值为2； （3）如图3，连接ME ∵CE是⊙M的切线 ∴ME⊥CE，∠CEM=90° 由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD与△MED中 2222
组卷二次函数中等题31-60 ∴△COD≌△MED（AAS）， ∴OD=DE，DC=DM 设OD=x 则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x 222则Rt△COD中，OD+OC=CD， 222∴x+2=（4﹣x） ∴x= ∴D（，0） 设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点， 则 解得： ∴直线CE的解析式为y=﹣+2；
组卷二次函数中等题31-60 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．