矩阵的及若尔当标准型及简单应用
摘要：
矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说 ，如果他的特征根方程 有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可 通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准
定义1：
????1?0??...?0?00??0??...00??............?001??? ，其中主对角上0...00...0?1...0 设?是一个复数，矩阵
的元素都是?，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的?一个若尔当（或若尔当块）. 当?=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：
设?是n维向量空间V的一个线性变换，?1,?2,...,?k都是?的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，?关于这个基的矩阵有形式
?B1?????0?B20??????Bk??
?Ji1?????0?Ji2 这里Bi=
0??????Jisi??，而Ji1,Ji2,...,Jisi都是属于?i的若尔当
块，i?1,2,...,k.
r1rkP(x)?(x??)...(x??)?1k证： 设的最小多项式是，而P(x)在复数域
上是不可约的因式分解，这里?1,?2,...,?k是互不相同的特征值，
r1,r2,...,rk是正整数。
ririV(???)?{??V(???)??0 }，i?1,2,...,k,所以空间iii 又=ker｜
V有直和分解V=V1?...?Vk.
1
对于每一i，令?i是?—?i在Vi上的限制，那么?i是子空间Vi的一个幂零线性变换，而子空间Vi可以分解为?i一循环子空间的直和：
Vi?Wi1?...?Wisi.
在每一循环子空间Wij?(j?1,2,...si)里，取一个循环基，凑成Vi的
?Ni1??Ni????0??i一个基，那么关于这个基的矩阵有形状
Ni20??????Nisi??
这里Nij(j?1,2,...,si)是幂零若尔当块。
令?i??|Vi，那么?i=?i+?i，于是对于Vi加上基来说，?i的矩阵是
??i??Bi????0??i0??Ni1????????????i???0iNi20??Ji1???????????Nisi???0Ji20??????Jisi??
这里Ji1,Ji2,...,Jis都是属于?i的若尔当块。
对于每一子空间Vi，按以上方式选取一个基，凑起来成为V的基，那么?关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）. 注意 ： 在矩阵（2）里，主对角上的第i块B，是?i??|Vi的矩阵.而子空间V1,...,Vk，显然由?唯一确定，而出现在每一Bi里的若尔当块
Ji1,Ji2,...,Jisi里由?i唯一确定的，因而是由?唯一确定。
定义2 ：
?J1?????0 形式如?
J20??????Jm??的n阶矩阵，其中每一J都是一个若尔
2
当块，叫做一个若尔当标准形式. 例如：
?2??1?0??0?0?0000??2??2000??00100?,?0??0110??0?0011???00000??2??1000??10100?,?0??0010??0?0002???00000??1000?0100??0010?0002??
都是若尔当标准形式. 定理2：
复数域上每一n阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A相似的若尔当标准形式是由A唯一确定的。
证： 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明。 定理3 ：
（1）设V为K上的n维线性空间，线性变换T：V?V的特征多项
式
分
解
1为
?K上
1的一
r次式的
nn??积.?T(t)?(t?a1)...(t?ar),?T?(t?a1)...(t?ar)，a1,...,ar?K，
ai?aj(i?j),1??i?ni.
~~~V(a)V(a)?...?V(ar)，又VVi1 这里，是弱特征空间的直和=
~~~V(ai)?{x?V|(T?aIv)?IX?O}，dimV(ai)=ni,T在V(ai)上的限制~ni?iV(a)(t?a),(t?a).。 iii的特征多项式和最小多项式为T|
（2）设矩阵A?（n，n，K）的特征多项式分解为K上一次式积.det
(tEn?A)?(t?a1)n1...(t?ar)nr,?A?(t?a)?1...(t?ar)?r,a1,...,ar?K,
3
ai?aj(i?j),1??i?ni.。这时，存在正则矩阵P?(n,n,K)，
P?1AP?J(a1)?...?J(ar)J(ai)?J(ai,?i)?...?J(ai,?i)?J(ai,?i?1)?...?J(ai,?i?1)????????????????????????至少1个0个以上?J(ai,1)?...?J(ai,1)?????????0个以上
方阵J(ai)的结束等于ni，构成J(ai)的若尔当的个数等于属于
ai的特征空间多项式的维数(1?i?r).若尔当块矩阵P?1AP称为矩阵A的若尔当。 注意 ：
P?1AP?J(aq)?...?J(ar)中的J(ai)，其j阶若尔当块的个数又
A唯一确定。
例1 ：
?1 证明对A，B?（n，n，C），存在正则矩阵P，使PAP=B?A和B具有相等的若尔当标准型。
证 ： 设A和B具有相等的若尔当标准型J，则存在正则矩阵P1，P2，
?1P1AP1=J，P2使
?1?1?1PPPJ212B=，令=P，则P正则接PAP=B反之，
?1?1QPPAPB设已存在正则矩阵，使=，设AQ?J是若尔当标准型，?1(PQ)A(PQ)?J，故A的若尔当标准型也是J。 则
例2 ：
?401??13?2035??????151D??3151?84??????106???2236?60?????的若尔当标准型，求C 求矩阵=，
?1QQ实矩阵使DQ成为若尔当矩阵.
解 ：
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