第3章 电路的暂态分析
【教学提示】
暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了RC的实际应用电路——积分和微分电路。
【教学要求】
? 了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念 ? 理解电路的换路定律和时间常数的物理意义 ? 了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法 ? 掌握一阶电路暂态分析的三要素法
? 了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
3.1 暂态分析的基本概念
暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1.稳态
在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态（steady state）。
2.换路
当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路（switching circuit）。
3.暂态
换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态（transient state）。
4.激励
激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5.响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：
（1）零输入响应（zero input response）：零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
（2）零状态响应（zero state response）：零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
（3）全响应（complete response）：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。
尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。
3.2 换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1 换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件—电感或电容。当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不
dw能突变。因为若能量突变，由p??∞可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突
dt11变。而电感的磁场能为WL?LiL2，电容中的电场能WC?CuC2，能量不能突变，这就意味着电
22感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律（switching law）。
若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：
uC（0?）?uC（0?） i（?i（ L0?）L0?）3.2.2 初始值的确定
1.初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后uC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定
换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：
（1）由t?0?的等效电路求出uC或i（。 （0?）L0?）（2）由换路定律确定uC或i（。 （0?）L0?）（3）由t?0?的等效电路，利用uC或i（求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。 （0?）L0?）2.等效电路的画法
在t?0?和t?0?时，等效电路的画法应根据以下几点： （1）换路前电容或电感上没有储能：
①t?0?的等效电路中，所有电量的值为0，f(0?)?0。 ②t?0?的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。
这是因为t?0?时，由换路定律知uC=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短（0?）?uC（0?）?i（路；i（=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。 L0?）L0?）（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，
（0?）①t?0?的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC；电感视为短路，其电流为i（； L0?）diduc（0?）?0，，uL?LL，换路前达稳态时，iCdtdtu（?0。所以电容视为开路，其电压为uC（0?）；电感视为短路，其电流为i（。 L0?）L0?）这是因为电容与电感的伏安关系分别为iC?C（0?）②t?0?的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为uC；电感视为一个恒流源，电流为i（。 L0?）这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为uC（0?）；电感视为一个恒流源，电流为i（。 L0?）3.2.3 稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当t??时，电路又达新的稳态。
（?）?0，i（）?0，其它电量的稳态值也为零。 若t??时电感或电容无储能，则uCL∞（∞）?0，u（）?0而uC（∞）?0，i（）?0。若t??时电感或电容有储能，因已达稳态，则iCL∞L∞（? ））所以在t??的等效电路中，电容视为开路，其电压为uC；电感视为短路，其电流为i（。L∞再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
【例3.1】电路如图3.2.1所示，已知E=12V，R1=4Ω，R2=2Ω，开关S断开前电路已达稳态。求S断开后，
（0?）（0?）（（1）uC、iC、uR。 10?）（? ）（? ）（）（2）uC、iC、uR。 1? S + E iC + R2 U2 - R1 - C
图3.2.1
解：（1）求初始值
①画出t?0?时的等效电路如图3.2.2（a）所示。
+ 12V - + 2Ω uC(0-) iC(0+) + 4V 4Ω - - + 2Ω uR2(0+) - （a） （b）
图3.2.2
由题意知：换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：
uC（0?）?（0?）?uC（0?）②由换路定律得：uC=4V
2?12?4V 4?2③画出t?0?时的等效电路如图3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则
iC(0?)??4??2A 2uR（?4V 20?）（2）求稳态值
由题意知：达稳态时，电容没有储能，则
uC（?）?0V iC（∞）?0A uR（?0V 2?）3.3 RC电路的暂态分析
本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。
3.3.1 RC电路的零输入响应
1 S + E 2 + uR - R C iC + uC + uR - R C iC + uC - - - （a） （b） 图3.3.1 RC电路的零输入响应
在图3.3.1所示（a）RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源连接，电源通过电阻R对电容器充电至U0，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析换路后uC、iC的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。分析RC电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图3.3.1（b），由KVL可得：
uC?uR?0
由于uR=R i，将i?Cduc代入上式得微分方程： dtduCduCuC?uC?0 或 ??0 dtdtRC这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：
RCuC?Aept
式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。 将通解代入微分方程式得：
RCpAept?Aept?0
整理后得到如下的特征方程：
RCp?1?0
特征根为：
1 RC再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压
p??uC（0?）?U0
根据换路定律得：
uC（0?）?uC（0?）?U0
令t=0将其代入微分方程的通解得：
A?uC（0?）?U0
将p和A的结果代入方程的通解得：
uC?U0e?tRC 或 uC?uC（0?）e 0 ?tRC
其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。
U0 uCiCt 0 t
?U0R
（a） （b）
图3.3.2 RC电路的响应曲线
由iC?Cduc可求出iC的变化规律： dtU?duciC?C??0eRC
dtRt其随时间变化的曲线如图3.3.2 (b)所示。由图可见，它的初始值为U0，按指数规律衰减至零。
通过分析uC 、iC的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压uC和电流iC的稳态值均为零。暂态过程进行的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。