EiLR 0 uLt -E0 t (a) (b)
图3.4.2 RL电路的响应曲线
可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到RIS，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快慢，取决于电路的时间常数??
L。 R
RL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会遇到线圈从电源断开的问题，如图3.4.3所示电路，S断开前电路已处于稳态。如果突然断开开关S，这时电感中电流的变化率
didiL很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势eL??LL。由于开关dtdt两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。
为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。开关S断开前，二极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样就避免了产生高压。
S t=0 + E R L -
图3.4.3
3.4.2 RL电路的零状态响应
在图3.4.4所示RL一阶电路中，换路前电感无储能。t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源连接，试分析换路后iL、uL的变化规律。
S t=0 + E + uR - R iL + L uL - -
图3.4.4 RL电路的零状态响应
因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产
生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL可得：
uL?uR?E
由于uR?R iL，将uL?LdiL代入上式得微分方程： dtdiRRLdiL?iL?E 或 L?iL?E
dtLLRdt此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果iL，进而求得uL。
EE?iL??e?
RRt其中，
E为t??时通过电感的电流iL(?)，因此零状态响应又可写为 R??E?iL?(1?e)?iL(?)(1?e?)
Rtt则
?diLuL?L?Ee?
dtt它们随时间变化的曲线如图3.4.5所示。
iLER EuL0 t
0 t
（a） （b）
图3.4.5 RL电路的零状态响应曲线
可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到E，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快
L慢，也取决于电路的时间常数??。
R3.4.3 RL电路的全响应
在图3.4.6所示RL一阶电路中，换路前开关S合在a处，RL电路与直流电压源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“b”处，RL电路与直流电压源E2连接，试分析换路后uL、iL的变化规律。
1 S + E1 2 + E2 + uR - R iL + L uL - - - 图3.4.6 RL电路的全响应
由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源IS2激励，所以该电路的响应为
全响应。与求RC电路的全响应类似，RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：
?E1?τE2E2E1E2?ττiL?e?(1?e)??(?)e
RRRRR??diLτuL?L?E1e?E2eτ
dt它们的变化曲线如图图3.4.7所示。
ttttt E2 uL E1iLRE2RE1 0 t
0 t
（a） （b）
图3.4.7
3.5 一阶线性电路暂态分析的三要素法
上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。对于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法——三要素法。
总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的，它们都由两部分组成。
u?u'?u'' i?i'?i''
其中，u'和i'为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。
u''和i''是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为Ae?t?，随着暂态过程的结束它将
趋于零，称为暂态分量。
如果将待求的电压或电流用f(t)表示，其初始值和稳态值分别为f(0?)和f(?)，则其响应表示为：
f(t)?f(?)?Ae?t?
在t?0?时有
f(0?)?f(?)?A
得：
A?f(0?)?f(?)
因此
f(t)?f(?)?[f(0?)?f(?)]e?t?
式中f(?)、f(0?)和?称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电路的响应。
【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，R1=R2=5kΩ，C=1nF，开关S闭合前电容无储能。求开关S闭合后的电容电压uC和电流iC。
S t=0 + E + uR1-R1 + R2 uR2 C iC - - + uC - 图3.5.1
解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压uC和电流iC的变化规律。
（1）先求uC、i（ （0?）C0?）由题意开关S闭合前电容无储能得：
uC（0?）?0
由换路定律得：
uC（0?）?uC（0?）?0
在t?0?时，电容视为短路
iC（0?）?E10??2mA R15（2）再求uC(?)、iC(?)
时，电容视为开路，则： t?∞uC(?)?R25E??10?5V
R1?R25?5iC(?)?0A
（3）然后求时间常数?
??RC?（4）求uC、iC
R1R25?5C??103?1?10R1?R25?59?2.5?10?6S
把上面的结果代入三要素公式
uC（t）?uC(?)?[uC（0?）?uC(?)]eiC（t）?iC(?)?[iC（0?）?iC(?)]e??tt?
?
5得：
uC（t）?5?[0?5]e?4?10它们的变化曲线如图3.5.1所示。
5 uC?5t?5?5e?4?10tV
iC（t）?0?[2?0]e?4?10?5t?2e?4?10tmA iC52 0 t
图3.5.1
0 t
(a) (b)
3.6 微分电路与积分电路
在RC电路中，电路的时间常数?决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC电路选择适当的时间常数和输出端，便会得到输出电压uO和输入电压ui之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是由RC电路构成的微分电路与积分电路。
3.3.1 微分电路
如图3.3.1所示RC电路中，输入电压ui为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为U，脉冲宽度为tp。输出电压uO取自R两端，且满足τ< Utp 0 ui+ ui i C + uC - R + uo - - (a) 矩形脉冲 (b)电路图 t1t2t 图3.3.1 微分电路 为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，t=0、t=t1、t=t2。 t?0时，输入矩形脉冲ui由零突变为U，由于电容初始储能为零，故u（?u（?0，C0?）C0?）?U。 则u（O0?）0 t=t1时，矩形脉冲ui由U突变为零，输入端相当于短路。此时，电容电压不突变uC?U， 输出端电压uO??uC??U。 t1 t=t2时，输入矩形脉冲ui又由零突变为U。然后电容迅速充电、放电，重复上述过程。 因此，由上述分析可以在输出端得到一个正负两尖脉冲电压，如图3.3.2所示。而且随着?的减小，uO幅值衰减的速度越快，尖脉冲的下降部分衰减的越快。 Utp 0 uit UuC0 t