22练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线C1:x?4y,C2:x??2py?p?0?,点M?x0,y0?在
抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-1. 2(I)求p的值;(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.A,B重合于O时,中点为O.
??【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
x2y2例题：如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C于
abA、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、
BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
2
法一：解：?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，
a2?1a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0) AE与BD相交于FK中点N ,且N(22。
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,y1)，当m变化时首先AE过定点N
22?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y22而KAN?KEN??01?a2a2?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?2222a?mba?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)a2?m2b2
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
a2?1,0)∴AE与BD相交于定点N(2
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量
也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
x2?y2?1，若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的例题、已知椭圆C：4任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)消y整理得(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0 ?22?x?4y?44k116k12?42?8k12则，， y???2和x1是方程的两个根，??2x1?x?112221?4k11?4k11?4k12?8k124k1即点M的坐标为(,)，
1?4k121?4k1228k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
k1?k2y?y1y2?y12??，?直线MN的方程为：?，
k1?k2tx?x1x2?x14xy?xy?令y=0，得x?2112，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
ty1?y2?又?t?2，?0?故当t?4443?2?椭圆的焦点为(3,0)??3，即t? tt343时，MN过椭圆的焦点。 3方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0的一个根，结合
?y?k2(x?2)4k12?8k12y?韦达定理，得到点M的横纵坐标：x1?，；其实由消y整理得?2121?4k12x?4y?41?4k12?22?4k216k2?48k2?2222y?，得到2x2?，即，很快。不过如x?(1?4k2)x?16k2x?16k2?4?0222221?4k21?4k21?4k216k12?4果看到：将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标
1?4k1228k2?2?4k2(,)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。221?4k21?4k2本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线A1M上也在直线A2N上，进而得到线MN的方程化简易得x?k1?k22??，由直
k1?k2ty?y1y2?y1xy?x1y2得直线与x轴的交点，即横截距x?21，将点M、N的坐标代入，?x?x1x2?x1y1?y2444343，由?3解出t?，到此不要忘了考察t?是否满足t?2。 tt33◆方法2：先猜想过定点，设弦MN的方程，得出A1M、A2N方程，进而得出与T交点Q、S，两坐标相减=0.
如下：
设lMN:x?my?3,联立椭圆方程，整理：（4?m2）y2?23my?1?0;?求出范围；设M（x1,y1）,N（x2,y2）,得直线方程：lA1M:y?y1y2(x?2),lA2N:y?(x?2);x1?2x2?2若分别于lT相较于Q、S：易得Q（t,y1y(t?2)）,S(t,2(t?2))x1?2x2?2y1y(t?2)?2(t?2)x1?2x2?2
yQ?yS?整理??4my1y2?2(t?3)(y1?y2)?(3t?4)(y1?y2)(x1?2)(x2?2)1-4m[(3t?4)?(3t?4)(y1?y2)](x1?2)(x2?2)4?m2韦达定理代入?显然，当t?43时，猜想成立。3◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。相较法1，未知数更少，思路更明确。
x2y2
练习1：（10江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，
95
设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.
⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹
1
⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标
3
⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)
解析：问3与上题同。
练习2：已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点．过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线l与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q.
?3??2?