（1）求椭圆E的方程：
（2）是否存在这样直线m，使得点Q恒在直线m上移动？若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由.
解析：（1）设椭圆方程为mx2?my2?1(m?0,n?0), 将A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得
32?4m?1,11x2y2???1 解得m?,n?. ∴椭圆E的方程?94343m?n?1??4（也可设标准方程，知a?2类似计分） （2）可知：将直线l:y?k(x?1)
x2y2??1并整理．得(3?4k2)x2?8k2x?4(k2?3)?0 代入椭圆E的方程43设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2)，
14(k2?3),x1x2?由根系数的关系，得x1?x2? 223?4k3?4ky1k(x1?1)直线AM的方程为：y?(x?2),即y?(x?2)
x1?2x1?2y2k(x2?1)(x?2)，即y?(x?2) 由直线AM的方程为：y?x2?2x2?2由直线AM与直线BN的方程消去y，得
2(x1x2?3x1?x2)2[2x1x2?3(x1?x2)?4x2] x??x1?3x2?4(x1?x2)?2x2?4?8(k2?3)24k2??4k2?6?2???4x4??x2??2?2223?4k3?4k3?4k?????4 ??228k4k?62?4?2x??x23?4k23?4k2∴直线AM与直线BN的交点在直线x?4上． 故这样的直线存在
模型四：动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。
222xy例题1.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0) 的离心率为, 并且直线y?x?b是抛物线y2?4x的一
2ab条切线。（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0,?)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（I）由??y?x?b消去y得:x2?(2b?4)x?b2?0 2?y?4x1322因直线y?x?b与抛物线y2?4x相切???(2b?4)?4b?0?b?1
x2c22a2?b21222?y?1.（II）当L与x，故所求椭圆方程为?e??,a?b?c,??,?a?222a2a212422轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x?(y?)?()
331242?2x?(y?)?()?x?0 当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x?y?1,由?33解得???y?1?x2?y2?1?即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。 当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
22若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y?kx?1 31?y?kx??3由?消去y得:(18k2?9)x2?12kx?16?0 ?2?x?y2?1??212k?x?x???????2?118k2?9 又因为记点A(x1,y1)、B(x,y),则?TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1), ?22?xx??1612?18k2?9???????44所以TA?TB?x1x2?(y1?1)(y2?1)?x1x2?(kx1?)(kx2?)
33416?16412k16?(1?k2)x1x2?k(x1?x2)??(1?k2)??k???0 22393918k?918k?9∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。
2x2y2例题2：如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，A1,A2分别是椭圆C的左、右两个
2ab112???2。 顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
A1DA2DFD（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
y（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l:y?kx?m
lQ与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点
PQ。求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定
点的坐标。
解：（1）A1(?a,0),A2(a,0),F(c,0)，设D(x,0)，
A1OFA2Dnx由
1111??2， ??2有
x?ax?aA1DA2D又FD?1，?x?c?1,?x?c?1，于是
11??2
c?1?ac?1?ac2?a?2c， ?c?1?(c?1?a)(c?1?a)，又??a2?c?1?(c?1?2c)(c?1?2c)
2x2?c?c?0，又c?0，?c?1,?a?2,b?1，椭圆C:?y2?1，且D(2,0)。
2?y?kx?mx2?22（2）方法1：?Q(2,2k?m)，设P(x0,y0)，由?x??(kx?m)?1 22??y?1?2?x2?2(kx?m)2?2?(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0，
由于??16k2m2?4(2k2?1)(2m2?2)?0?2k2?m2?1?0?m2?2k2?1（*），
?4km?2km由（*）?2km2k?x????而由韦达定理：2x0?， 02k2?12k2?1m2m2k12k21?y0?kx0?m???m?，?P(?,)，
mmmm?????????设以线段PQ为直径的圆上任意一点M(x,y)，由MP?MQ?0有
2k12k12k(x?)(x?2)?(y?)(y?(2k?m))?0?x2?y2?(?2)x?(2k?m?)y?(1?)?0由对
mmmmm称性知定点在x轴上，令y?0，取x?1时满足上式，故过定点K(1,0)。
法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1,0）。接下来用相似证明PF⊥FQ。
设P（x0,y0）,易得PQ切线方程为x0x?2y0y?2;易得D(0,设PH?FD
1?x0) y0PH?y0;HF?1?x0;DQ?1?x0;DF?1;y0HFDQ?,固?PHF相似于?FDQ，易得?PFQ?900PHFD问题得证。
x2y2练习：（10广州二模文）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线C2:y2?4x的焦点重
ab5合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|?.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C33与y轴交于M,N两点，且|MN|?4. （1）求椭圆C1的方程；
（2）证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.
（1）解法1：∵抛物线C2:y?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).
∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(?1,0)，抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,∵PF2?2
52582,∴x1?1?，解得x1?.由y1?4x1?，且y1?0,
33332x2y2?22?6.∴点P的坐标为?,得y1?6?. 在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中， 3ab33??2222c?1.2a?|PF1|?|PF2|?(?1)2?(6?0)2?(?1)2?(6?0)2?4
3333x2y222??1. ∴a?2,b?a?c?3.∴椭圆C1的方程为43解法2：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).∴ 抛物线C2的准线方程为
x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,
5258226. ,∴x1?1?，解得x1?.由y1?4x1?，且y1?0得y1?3333322x2y26).在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中，c?1. ∴点P的坐标为(,33ab??c?1,?2x2y222??1. 由?a?b?c,解得a?2,b?3.∴椭圆C1的方程为43?424?2?2?1.9b?9a（2）证法1: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，
∵PF2?∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,∴ |MN|?2r?x0?4.∴r?2∴圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.???
2∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y0?4x0(x0?0).∴x0?2224?x0. 12y0. 412x2y0代入??? 消去x0整理得:(1?)y0?2yy0?(x2?y2?4)?0.????
24?x?1?2?0,??x?2,方程????对任意实数y0恒成立，∴??2y?0, 解得?
y?0.??x2?y2?4?0.
??
x2y2??1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?. ∵点(2,0)在椭圆C1:43证法2: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，
把x0?2∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y0?4x0(x0?0).
∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,∴ |MN|?2r?x0?4.∴ r?∴ 圆C3的方程为(x?x0)?(y?y0)?4?x0.?????
222222令x0?0,则y0?4x0?0,得y0?0.此时圆C3的方程为x?y?4.
2224?x0. ?x2?y2?4,?x??2,?222由?x2解得∴圆C3:x?y?4与椭圆C1的两个交点为?2,0?、??2,0?. ?y?1,?y?0.??3?4分别把点?2,0?、??2,0?代入方程?????进行检验，可知点?2,0?恒符合方程?????，点??2,0?不
恒符合方程?????.∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?.