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?世纪金榜??圆你梦想?
考点??平面向量的数量积、平面向量应用举例?
一、选择题?
??（?????福建卷理科?Ｔ??）已知函数f(x)?ex?x?对于曲线???（?）上横坐标成等差数列的三个点?????，给出以下判断：?①△???一定是钝角三角形?②△???可能是直角三角形?③△???可能是等腰三角形?④△???不可能是等腰三角形?其中，正确的判断是（????）???①③?????①④??????②③?????②④?
????????【思路点拨】设出A,B,C三点的坐标，表示BA?BC，结合?，?，?三个点的横坐标????????????????判断BA?BC的符号，由BA?BC的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形
2或是直角三角形，再?求｜?BA｜?|BC|2的值，由它的值来判断?ABC是否是等腰三角形，????????【精讲精析】选???设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),由题意知，x1?x3?2x2,?????????????????BA?(x?x,f(x)?f(x)),BC?(x?x,f(x)?f(x)),?BA?BC?(x?x)(x?x)?[f(x)?f(x)]?
121232321232122?[f(x3)?f(x2)]?x1x3?x1x2?x2x3?x2?[f(x1)?f(x2)].[f(x3)?f(x2)]?
?x1x3?x22?[f(x1)?f(x2)]?[f(x3)?f(x2)],?x1?x3?2x1?x3,?x22?x1?x3,?x1x3?x22?0,又?[f(x1)?f(x2)]?[f(x3)?f(x2)]?0，?
??????????ABC一定为钝角三角形，故??BA?BC?0,??ABC为钝角，????2????2①正确，②不正确，对于③，｜BA｜?|BC|?(x1?x2)2?[f(x1)?f(x2)]2?(x3?x2)2??[f(x3)?f(x2)]2?x12?2x1x2?x32?2x2x3?f2(x1)?2f(x1)f(x2)?f2(x3)?2f(x2)f(x3)?
?(x1?x3)(x1?x3?2x2)?[f(x1)?f(x3)][f(x1)?f(x3)?2f(x2)]?[f(x1)?f(x3)]?[ex1?x1?ex3+x3?2(ex2?x2)] 1
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?[f(x1)?f(x3)](ex1?ex3?2ex2),又?ex1?ex3?2ex1?x3?2ex2?
????2????2??????????e?e?2e,又?f(x1)?f(x3),?|BA|?|BC|即｜BA｜｜?BC｜，x1x3x2??ABC不可能是等腰三角形??
故选④，③错误???
??（?????新课标全国高考理科?Ｔ??）已知?与?均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题?
?2?P:a?b?1???0,1??3??2??P:a?b?1???,?????????2??3?????????P3:a?b?1????0,????????P4:a?b?1????,???
?3??3?其中的真命题是（????）?
??P1,P3??????????P1,P4????????P2,P3???????????P2,P4?
【思路点拨】|a?b|?1?(a?b)2?1，|a?b|?1?(a?b)2?1，将(a?b)2,(a?b)2展开并化成与?有关的式子，解关于?的不等式，得?的取值范围??【精讲精析】选????|a?b|?1?(a?b)2?1，而(a?b)2?a2+2a?b+b2?
＝2+2cos??1，?cos???12?，解得???0,?2?3?2，同理由|a?b|?1?(a?b)?1，可得????????,?????3???（????·广东高考理科·Ｔ?）若向量?，?，?满足???且?⊥?，则?·????????
???．??????．??????．??????．??
【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律?由两向量垂直数量积为零，然后运用数量积对加法的分配律可求解??
2
??
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?????????????//b且a?c，?b?c，从而c?b?c?a?0??c?(a?2b)?c?a?2c?b?0?故选???【精讲精析】选???a??????（????·辽宁高考理科·Ｔ??）若a，b，c均为单位向量，且a?b?0，（a?c）·（b?c）≤?，则?a?b?c?的最大值为?（?）2-1???????（?）???????（?）2??????（?）??
【思路点拨】先化简已知的式子，再将所求式子平方，然后利用化简的结果即
可．?
【精讲精析】选?，由（a?c）·（b?c）≤?，得a?b?a?c?b?c?c?0，又
a?b?0?
2?且a，b，c均为单位向量，得?a?c?b?c??1，?a?b?c???（a?b?c）???
a?b?c?2(a?b?a?c?b?c)?3?2(?a?c?b?c)?3?2?1，故?a?b?c?的最大值为???
222??（????·辽宁高考文科·Ｔ?）已知向量a?（?，?），b?（??，?），
a·（?a?b）??，则???
（?）???????????????（?）???????????（?）??????????（?）??????【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算．?
【精讲精析】选?，因为a?(2,1),b?(?1,k)，所以2a?b?(5,2?k)．??又a?(2a?b)?0，所以2?5?1?(2?k)?0，得k?12．?二、填空题?
??（????·安徽高考理科·Ｔ??）已知向量a、b满足(a?2b)?(a?b)??6，且
|a|?1，|b|?2，则a与b的夹角为??????????????????????
【思路点拨】(a?2b)?(a?b)??6可以求出a?b，再利用夹角公式可求夹角??【精讲精析】答案?60??(a?2b)?(a?b)??6?即12?a?b?2?22??6,则a?b??，所以
cosa,b?
a?b1?,所以a,b?60???ab23
??
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??（?????福建卷理科?Ｔ??）设?是全体平面向量构成的集合，若映射f满足：对任意向量a?(x1,y1)?V,b?(x2,y2)?V,以及任意?∈?，均有?
f(?a?(1??)b)??f(a)?(1??)f(b)?
:V?R则称映射?具有性质???现给出如下映射：?
①f1:V?R,f1(m)?x?y,m?(x,y)?V;?②f2:V?R,f2(m)?x2?y,m?(x,y)?V;?③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.?
其中，具有性质?的映射的序号为?????????（写出所有具有性质?的映射的序号）?
【思路点拨】对三个映射f1,f2,f3分别验证是否满
f(?a?(1??)b)??f(a)?(1??)f(b)，满足则具有性质?，不满足则不具有??
【精讲精析】①③???由题意知?
?a?(1??)b??(x1,y1)?(1??)(x2,y2)?(?x1?(1??)x2,?y1?(1??)y2),，?
对于①：f1(?a?(1??)b)??x1?(1??)x2??y1?(1??)y2,?
而?f1(a)?(1??)f(b)??(x1?y1)?(1??)(x2?y2)??x1?(1??)x2??y1?(1??)y2,?
?f1(?a?(1??)b)??f1(a)?(1??)f1(b)?故①中映射具有性质???
对于②：f2(?a?(1??)b)?[?x1?(1??)x2]2??y1?(1??)y2，?
而?f2(a)+(1-?)f2(b)??(x12?y1)?(1??)(x22?y2)??x12?(1??)x22??y1?(1??)y，?
2?f2(?a?(1??)b)??f2(a)?(1??)f2(b)，故②中映射不具有性质???
对于③：f3(?a?(1??)b)??x1?(1??)x2??y1?(1??)y2?1，?
而?f3(a)?(1??)f3(b)??(x1?y1?1)?(1??)(x2?y2?1)??x1?(1??)x2??y1?(1??)y2??1?
4
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?f3(?a?(1??)b)??f3(a)?(1??)f3(b)?故③中映射具有性质???
?具有性质?的映射的序号为①③??
??（?????福建卷文科?Ｔ??）若向量??（???），?＝（????），则?·?等于???????????????
【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值??
【精讲精析】?????a?(1,1),b?(?1,2),?a?b?(1,1)?(?1,2)??1?2?1????（????·江苏高考·Ｔ??）已知e1,e2是夹角为
??????????2?的两个单位向量，3a?e1?2e2,b?ke1?e2,?若a?b?0，则实数?的值为?????????
??【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出a?b?0，然后找到关于?的等式进行求解。?【精讲精析】由题
?a?e1?2e2,b?ke1?e2,?a?b?(e1?2e2)(ke1?e2)?k?cos2??2kcos2??2?0?可以解
???????????33得k??【答案】??
???（?????新课标全国高考文科?Ｔ??）已知?与?为两个不共线的单位向量，?为实数，若向量???与向量????垂直，则????????????
【思路点拨】向量a?b与向量ka?b垂直?(a+b)?(ka?b)?0，展开用数量积公式求得k的值??
【精讲精析】????(a+b)?(ka?b)，?(a+b)?(ka?b)?0，?即ka2?(k?1)a?b?b2?0，(?)?
又?a,b为两不共线单位向量，?(?)式可化为k?1?(k?1)a?b，?若k?1?0，则a?b?1，这与a，b不共线矛盾；?
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