统计学 第七章 方差分析 ??xijx?i?1j?1rkrk??xi?1r?i?r （7.6） 对例7.1而言，各nj都相等，即k=5。计算结果见表7.1。
3. 离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个：
（1）总离差平方和（Sum of Squares for Total，简称SST），计算公式为：
SST???(xij?x)2
i?1j?1rni （7.7）
总离差平方和反映全部观察值的离散状况，是全部观察值与总平均值的离差平方和。 （2）误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，简称SSE），计算公式为：
SSE???(xij?xi)2 （7.8）
i?1j?1rni?误差项离差平方和又称为组内离差平方和，它反映了水平内部观察值的离散情况，即随机因素产生的影响。
（3）水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A，简称SSA）。计算公式为：
SSA??ni(xi??x)2 （7.9）
i?1r?水平项离差平方和又称组间离差平方和，是各组平均值与总平均值的离差平方和。它既包括随机误差，也包括系统误差。
由于各样本的独立性，使得变差具有可分解性，即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和，用公式表达为：
SST = SSE + SSA （7.10）
对例7.1而言，计算结果见表7.3。
表7.3 单因素方差分析计算表（1） 序号 方式一 方式二 方式三 方式四 1 2 3 4 5 水平均值 总离差平方 误差项离差平方 水平项离差平方 77 86 81 88 83 83 95 92 78 96 89 90 71 76 68 81 74 74 80 84 79 70 82 79 总均值 81.5 合计 1183 498 685 85.25 74 11.25 571.25 210 361.25 379.25 98 281.25 147.25 116 31.25
4. 均方和（Mean Square）
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方和。计算方法是用离差平方和除以相应的自由度df，见表7.4所示，表中n?
表7.4 方差分析表 df 均方和MS r-1 MSA = SSA /（r-1） n-r MSE = SSE /（n-r） n-1 第6页
?ni?1ri。
方差来源 离差平方和SS SSA 组间 SSE 组内 SST 总方差 F MSA/MSE 统计学 第七章 方差分析
学生：什么叫“自由度”？ 教师：自由度，英文是Degrees of Freedom，简称df，我们可能把它理解为一个表达式中可以自由变动的变量个数。举个例子，如：a+b+c=0中，如果a、b自由取值，要使约束条件成立，c就不能自由取值，它必须满足c=-(b+c)，所以a+b+c=0的自由度为2。 我们再看SSE，对每一种水平而言，其观察值个数为nj，在其计算过程中，必须满足?(xj?1r?j?x)?0这样一个条件，故该种水平下的自由度为nj?1，总共有r个水平，因此拥有的自由度个数为?(nj?1rj?1)?n?r。 5. 构造检验统计量F
F= 组间方差 / 组内方差= MSA / MSE （7.11）
对例7.1而言，计算结果见表7.5。
表7.5 单因素方差分析计算表（2） df F 方差来源 离差平方和SS 均方和MS 685 3 228.3333 7.3360 组间 498 16 31.125 组内 1183 19 总方差
（三）判断与结论
在假设条件成立时，F统计量服从第一自由度df1为r?1、第二自由度df2为n?r的 F分布（F分布表见附表五）。将统计量F与给定的显著性水平α的临界值F?(r?1,n?r)比较，可以作出拒绝或不能拒绝原假设H0的判断，见图7.1。
图7.1 F检验示意图
若F≥F?，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异显著，因素A对观察值有显著影响； 若F
教师：方差分析的计算比较烦，特别是在不均衡的情况下，不过如果我们学会用Excel中的方差分析功能，就可以轻而易举地得到方差分析表。
① 将数据输入工作表中 ② 选择菜单“工具”—“数据分析”，打开“数据分析”对话框 ③ 选择其中的“方差分析：单因素方差分析”，打开对话框，见图7.2 ④ 正确填写相关信息后，点“确定”，结果在H1到N16这个区域内显示，见图Excel解决方案 7.3 第7页
统计学 第七章 方差分析
输入时若选行标题，则选择 根据数据的情况选择行或列 填入显著性水平
图7.2 “方差分析：单因素方差分析”分析工具对话框
图7.3 “方差分析：单因素方差分析”结果截图
学生：哦！这好，可以有两个判断方法。一是用F与F crit比较，F≥F crit，则拒绝原假设；二是用P-value与α比较，如果P-value≤α，则拒绝原假设。异曲同工 ！
二、方差分析中的多重比较
方差分析可以对多个均值是否相等进行检验，这是其长处。当拒绝H0时，表示各均值不全等，但具体哪一个或哪几个均值与其他均值显著不同，或者哪几个均值仍然可能认为是相等的，方差分析就不能给我们答案了，如果要进一步分析，可以采用多重比较的方法。
多重比较是通过对总体均值之间的两两比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异，总共要作Cr2次比较。
多重比较方法有十几种，但以Fisher提出的最小显著差异方法（least significant difference，简写为LSD）使用最多，该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异。
LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法，它来源于我们第六章公式：
t?spx?y11?n1n2
多重比较的步骤： 1. 提出假设
H0：?i??j （第i个总体的均值等于第j个总体的均值）
H1：?i??j （第i个总体的均值不等于第j个总体的均值）
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统计学 第七章 方差分析
2. 计算检验统计量：
公式（6.4）中的sp是根据两个总体的样本资料计算的，对这里的多个总体进行比较时需要用MSE。于是统计量改造为：
?11?MSE?????nn?j??i当?i??j时，t服从t?n?r?。因此，采用t检验。
t?xi??xj? （7.12）
3. 判断： 若t?t?/2，拒绝H0；若t?t?/2|，不能拒绝H0。
对例7.1而言，若假定α为0.05，查表得t0.025(16)?2.12，其他计算借助Excel工作表，结果见图7.4。
图7.4 多重比较结果截图
第三节 双因素方差分析
一、双因素方差分析的种类
在现实中，常常会遇到两个因素同时影响结果的情况。这就需要检验究竟一个因素起作用，还是两个因素都起作用，或者两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析有两种类型：一种是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一种是有交互作用的方差分析，它假定A、B两个因素不是独立的，而是相互起作用的，两个因素同时起作用的结果不是两个因素分别作用的简单相加，两者的结合会产生一个新的效应。这种效应的最典型的例子是，耕地深度和施肥量都会影响产量，但同时深耕和适当的施肥可能使产量成倍增加，这时，耕地深度和施肥量就存在交互作用。两个因素结合后就会产生出一个新的效应，属于有交互作用的方差分析问题。
二、无交互作用的双因素方差分析
（一）数据结构
设两个因素分别是A和B。因素A共有r个水平，因素B共有s个水平，无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7.6所示。
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统计学 第七章 方差分析
表7.6 无交互作用双因素方差分析的数据结构 j i 因 素 B B1 A1 因 素 A B2 ? ? ? ┋ ? ? Bs 均值 x11 x12 x1s x2s ┋ x1? A2 ┋ x21 ┋ x22 ┋ x2? ┋ Ar 均值 xr1 xr2 x?2 xrs xr? x?1 x?s
（二）分析步骤 1. 模型与假设
在水平(Ai,Bj)下的试验结果Xij服从N(?ij,?2)，i?1,?,r,j?1,?,s，这些试验结果相互独立。
1rs1s与单因素方差分析模型相类似，令?????ij称为一般水平或平均水平，?i????ij,i?1,?,r，
rsi?1j?1sj?11r??j???ij,j?1,?,s，?i??i???称为因素A在第i个水平下的效应，?j???j??称为因素Bri?1在第j个水平下的效应，显然有
??i?1ri?0，??i?0。若?ij????i??j，则称这种方差分析模型为
j?1s无交互作用的双方差分析模型，此时只需对(Ai,Bj)的每种组合各做一次试验，观测值记为xij。把原参数
?ij变换成新参数?i和?j后，无交互作用的双因素方差分析模型则为
?xij????i??j??ij,i?1,?,r,j?1,?,s?rs （7.13） ???0,??0?i??ii?1j?1?2其中随机误差?ij相互独立，都服从N(0,?)分布。对这个模型要检验的假设有两个：
对因素A：H01:?1???2??......??r?；H11:?1?,?2?,......,?r?不全相等 对因素B：H02:??1???2?......???s；H12:??1,??2,......,??s不全相等
我们检验因素A是否起作用实际上就是检验各个ai是否均为0，如都为0，则因素A所对应的各组总体均数都相等，即因素A的作用不显著；对因素B，也是这样。因此上述假设等价于
对因素A：H01:?1??2????r?0,H11:?1,?2,?,?r不全为0
对因素B：H02:?1??2????s?0,2. 构造检验统计量 （1）水平的均值
H12:?1,?2,?,?s不全为0。
1sxi???xij sj?1 （7.14）
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