统计学 第七章 方差分析 1rx?j??xij ri?1（2）总均值 （7.15） 1rs1r1sx???xij??xi???x?j rsi?1j?1ri?1sj?1 （7.16）
（3）离差平方和的分解 双因素方差分析同样要对总离差平方和SST进行分解，SST分解为三部分：SSA、SSB和SSE，以分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异和随机误差（即组内差异）的离散状况。
它们的计算公式分别为：
SST???(xij?x)2 （7.17）
i?1j?1rrsSSA??s(xi??x)2 （7.18）
SSB??r(x?j?x)2 （7.19）
j?1i?1sSSE ? SST-SSA-SSB （7.20）
（4）构造检验统计量
由离差平方和与自由度可以计算出均方和，从而计算出F检验值，如表7.7
表7.7 无交互作用的双方差分析表 df 方差来源 离差平方和SS 均方和MS
SSA r-1 MSA = SSA /(r-1) 因素A
SSB s-1 MSB = SSB /(s-1) 因素B
SSE (r-1)(s-1) MSE= SSE /(r-1)(s-1) 误差
SST rs-1 总方差
为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量： F MSA/MSE MSB/MSE FA?MSA~F(r?1,(r?1)(s?1)) （7.21） MSEMSB~F(s?1,(r?1)(s?1)) （7.22） MSE为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量： FB?3. 判断与结论
根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值F?，将统计量F与F?进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设H0的决策。
若FA≥F?(r?1,(r?1)(s?1))，则拒绝原假设H01，表明均值之间有显著差异，即因素A对观察值有显著影响；
若FA 若FB≥F?(s?1,(r?1)(s?1))，则拒绝原假设H02，表明均值之间有显著差异，即因素B对观察值有显著影响。 若FB （三）实例 【例7.2】某公司想知道产品销售量与销售方式及销售地点是否有关，随机抽样得表7.8资料，以0.05 第11页 统计学 第七章 方差分析 的显著性水平进行检验。 表7.8 某公司产品销售方式及销售地点所对应的销售量 地点一 地点二 地点三 地点四 方式一 方式二 方式三 方式四 地点五 83 89 74 82 77 95 71 80 86 92 76 84 81 78 68 79 88 96 81 70 【解】我们可以按上述的步骤，完成检验，但计算工作量很大。这里我们利用Excel的分析工具。 首先针对问题，作原假设和备择假设： 对因素A：H01:?1???2??......??4?；H11:?1?,?2?,......,?4?不全等 对因素B：H02:??1???2?......???5；H12:??1,??2,......,??5不全等 ① 将数据输入工作表中 ② 选择菜单“工具”—“数据分析”，打开“数据分析”对话框。 ④ 正确填写相关信息后，点“确定”，结果在I1到O22这个区域内显示，见图7.6 Excel解决方案 ③ 选择其中的“方差分析：无重复双因素方差分析”，打开对话框，见图7.5 图7.5 “方差分析：无重复双因素方差分析”分析工具对话框 图7.6 “方差分析：无重复双因素方差分析”结果截图 结论： ∵FA > F?，∴拒绝原假设H01，即销售方式对销售量有影响； ∵FB < F?，∴不能拒绝原假设H02，即销售地点对销售量的影响不显著。 第12页 统计学 第七章 方差分析 三、有交互作用的双因素方差分析 （一）数据结构 设两个因素分别是A和B，因素A共有r个水平，因素B共有s个水平，在水平组合(Ai,Bj)下的试验结果Xij服从N(?ij,?2)，i?1,?,r,j?1,?,s，假设这些试验结果相互独立。为对两个因素的交互作用进行分析，每个水平组合下至少要进行两次试验，不妨假设在每个水平组合(Ai,Bj)下重复t次试验，每次试验的观测值用xijk，k?1,?t，表示，那么有交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7.9所示。 表7.9 有交互作用双因素方差分析的数据结构 j i 因 素 B B1 A1 因 素 A ? ? ? ┋ ? ? Bs x1s1,x1s2,…,x1st 均值 x111,x112,…,x11t x1? x2? ┋ ??A2 ┋ x211,x212,…,x21t ┋ x2s1,x2s2,…,x2st ┋ Ar 均值 xr11,xr12,…,xr1t x?1 ?xrs1,xrs2,…,xrst x?s ?xr? ? （二）分析步骤 1. 模型与假设 1rs与无交互作用双因素方差分析模型一样，令?????ij称为一般水平或平均水平， rsi?1j?11s1r?i????ij,i?1,?,r，??j???ij,j?1,?,s，?i??i???称为因素A在第i个水平下的效 ri?1sj?1应，显然有?j???j??称为因素B在第j个水平下的效应， ??i?1ri若?ij????i??j，?0，??i?0。 j?1s则称这种方差分析模型为有交互作用的双方差分析模型，再令因素B的第j水平的交互效应，满足 ?ij??ij??i??j称为因素A的第i水平与 ?r???ij?0,?i?1?s???0,?ij??j?1j?1,?,s， i?1,?,r把原参数?ij变换成新参数?i、?j和?ij后，有交互作用的双因素方差分析模型为 第13页 统计学 第七章 方差分析 ??x??????????ijijijk?ijks??r （7.23） ???i?0,??i?0j?1?i?1s?r???ij?0,??ij?0?j?1?i?1这里i?1,?,r,j?1,?,s,k?1,?,t，随机误差?ijk相互独立，都服从N(0,?2)分布。与前面的分析思 路相同，我们检验因素A、因素B以及两者的交互效应是否起作用实际上就是检验各个?i、?j以及?ij是否都为0，故对此模型要检验的假设有有三个： 对因素A：H01:?1??2????r?0 ；H11:?1,?2,?,?r不全为零 对因素B：H02:?1??2????s?0 ；H12:?1,?2,?,?r不全为零 对因素A和B的交互效应：H03:对一切i,j有?ij?0；H13:对一切i,j，?ij不全为零 2. 构造检验统计量 （1）水平的均值 1txij???xijk （7.24） tk?1 xi??1st???xijk stj?1k?11rt???xijk rti?1k?1 （7.25） x?j?（2）总均值 （7.26） 1rst1r1sx?xijk??xi????x?j? （7.27） ???rsti?1j?1k?1ri?1sj?1（3）离差平方和的分解 与无交互作用的双因素方差分析不同，总离差平方和SST将被分解为四个部分：SSA、SSB、SSAB和SSE，以分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异、因素AB的交互效应和随机误差的离散状况。 它们的计算公式分别为： SST????(xijk?x)2 （7.28） i?1j?1k?1rstSSA??st(xi???x)2 （7.29） rSSB??rt(x?j??x)2 （7.30） j?1ri?1sSSAB???t(xij??xi???x?j??x)2 （7.31） i?1j?1ssSSE????(xijk?xij?)2 （7.32） i?1j?1k?1rt （4）构造检验统计量 由离差平方和与自由度可以计算出均方和，从而计算出F检验值，如表7.10。 第14页 统计学 第七章 方差分析 方差来源 因素A 因素B 因素A×B 误差 总方差 表7.10 有交互作用的双方差分析表 df 离差平方和SS 均方和MS SSA r-1 MSA = SSA /(r-1) SSB s-1 MSB = SSB /(s-1) SSAB (r-1)(s-1) MSAB=SSAB/(r-1)(s-1) SSE rs(t-1) MSE= SSE / rs(t-1) SST rst-1 F MSA/MSE MSB/MSE MSAB/MSE 为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量： FA?MSA~F(r?1,rs(t?1)) （7.33） MSEMSB~F(s?1,rs(t?1)) （7.34） MSEMSAB~F((r?1)(s?1),rs(t?1)) （7.44） MSE为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量： FB?为检验因素A、B交互效应的影响是否显著，采用下面的统计量： FAB?3. 判断与结论 根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值F?，将统计量F与F?进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设H0的决策。 若FA≥F?(r?1,rs(t?1))，则拒绝原假设H01，表明因素A对观察值有显著影响，否则，不能拒绝原假设H01； 若FB≥F?(s?1,rs(t?1))，则拒绝原假设H02，表明因素B对观察值有显著影响，否则，不能拒绝原假设H02； 若FAB≥F?((r?1)(s?1),rs(t?1))，则拒绝原假设H03，表明因素A、B的交互效应对观察值有显著影响，否则，不能拒绝原假设H03。 （三）实例 【例7.3】电池的板极材料与使用的环境温度对电池的输出电压均有影响。今材料类型与环境温度都取了三个水平，测得输出电压数据如表7.11，问不同材料、不同温度及它们的交互作用对输出电压有无显著影响（α=0.05）。 表7.11 材料与环境温度的输出电压影响的测试表 环境温度 材料类型 15℃ 25℃ 35℃ 1 2 3 130 174 155 180 34 40 80 75 136 122 106 115 174 120 150 139 20 70 82 58 25 70 58 45 96 104 82 60 150 188 159 126 138 110 168 160 【解】我们利用Excel的分析工具。 首先针对问题，作原假设和备择假设： 对因素A：H01:?i?0； H11:?i不全为零 (i,j?1,2,3)； 对因素B：H02:?j?0；H12:?j不全为零 (i,j?1,2,3)； 对因素A和B的交互效应：H03:?ij?0； H13:?ij不全为零 (i,j?1,2,3)。 第15页