沈阳理工大学数字图像处理课程设计
表示为载频信号与包络函数的乘积，在接收机内需要分离载波和包络。在这一类相乘信号中，用线性系统来分离信号各成分或单独地改善某一信号成分往往是无效的。但利用相乘信号的同态滤波处理，就可以取得较好的滤波效果。
同态滤波增强是把频率过虑和灰度变换结合起来的一种处理方法。它是把图像的照明反射模型作为频域处理的基础，利用压缩灰度范围和增强对比度来改善图像的一种处理技术。它在密度域中运用相当成功。一个相乘信号f(x,y)（以两个信号相乘形式为例）可以用分量i(x,y)及分量r(x,y)来表示，既
f(x,y)?i(x,y)?r(x,y) (3.1)
i(x,y)为照明分量（入射分量），是入射到景物上的光强度；
r(x,y)为反射分量，是受到景物反射的光强度。
因为傅里叶变换是线性变换，所以对于式(3.1)中具有相乘关系的两个分量无法分开。也就是说，
F?f(x,y)??F?i(x,y)??F?r(x,y)? (3.2)
式中F代表傅里叶变换。如果首先把式(3.1)的两边取对数就可以把式中的乘性分量变成加性分量，再加以进一步处理，即
Z(x,y)?lnf(x,y)?lni(x,y)?lnr(x,y) (3.3)
此后对式(3.3)再进行傅里叶变换，得式(3.4)：
F?z(x,y)??F?lnf(x,y)?
?F?lni(x,y)??F?lnr(x,y)? (3.4)
令：Z(u.v)?F?z(x,y)?
I(u,v)?F?lni(x,y)?
R(u,v)?F?lnr(x,y)?
(3.5)
则：Z(u,v)?I(u,v)?R(u,v) (3.6)
如果用一个传递函数为H(u,v)的滤波器来处理Z(u,v),那么如前面所讨论的那样，有：
S(u,v)?H(u.v)?Z(u,v)
?H(u,v)?I(u,v)?H(u,v)?R(u,v) (3.7)
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处理后将式(3.7)再施以逆傅里叶变换，则可得到式(3.8)：
s(x,y)?F?1?S(u,v)?
?1?1???H(u,v)?R(u,v)? (3.8) ?FH(u,v)?I(u,v)?F
'?1?H(u,v)?I(u,v)? i(x,y)?F令：
r'(x,y)?F?1?H(u,v)?R(u,v)? (3.9)
则式(3.8)可以写成式(3.10)：
''s(x,y)?i(x,y)?r(x,y) (3.10)
因为z(x,y)是f(x,y)的对数，为了得到所要求的信号函数g(x,y),还要进行一次相反的运算，即通过指数运算这一和对数运算相反的运算来设置算法，使之变为所需的形式，即
g(x,y)?exp?s(x,y)?
??
i(x,y)??exp?r(x,y)? (3.11) ?exp?i(x,y)? 令：i(x,y)?exp??expi'(x,y)?r'(x,y)
'''0r0(x,y)?expr'(x,y)
?? (3.12)
则：g(x,y)?i0(x,y)?r0(x,y) (3.13)
式中i0(x,y)和r0(x,y)是处理后的两个信号的分量。
适当选择滤波器传递函数H(u,v)将会对傅里叶变换中的分量产生不同的响应，处理结果会使信号达到所要求的目的。用同态滤波的方法处理相乘形式信号流程框图如图3.1所示：
x(n) log x(n) ?线性滤波 s(n) ?exp s(n)
图3.1 相乘形式信号同态处理流程
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4 同态滤波器设计方案
4.1 同态滤波基本流程
利用广义叠加原理对同态系统进行滤波。
同态滤波是把频率过滤和灰度变换结合起来的一种图像处理方法，它依靠图像的照度/反射率模型作为频域处理的基础，利用压缩亮度范围和增强对比度来改善图像的质量。使用这种方法可以使图像处理符合人眼对于亮度响应的非线性特性，避免了直接对图像进行傅里叶变换处理的失真。
同态滤波的基本原理是：将像元灰度值看作是照度和反射率两个组份的产物。由于照度相对变化很小，可以看作是图像的低频成份，而反射率则是高频成份。通过分别处理照度和反射率对像元灰度值的影响，达到揭示阴影区细节特征的目的。
同态增强算法流程图如图4.1所示：
开始 显示频谱图 频域滤波 显示原图像 傅里叶变换 傅里叶逆变换显示滤波后频谱图 取指数显示增强图像 添加乘性噪声 取对数 显示滤波前有噪声图像 转换矩阵 结束
图4.1 同态增强算法流程
同态滤波处理的基本流程如下：
S(x,y)?Log?DFT?频域滤波?IDFT?Exp?T(x,y)
其中S(x,y)表示原始图像；T(x,y)表示处理后的图像；Log代表对数运算；
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DFT 代表傅里叶变换（实际操作中运用快速傅立叶变换FFT）；IDFT 代表
傅里叶逆变换（实际操作中运用快速傅立叶逆变换IFFT）；E xp 代表指数运算。
4.2 同态滤波具体设计内容
为了消除不均匀照度的影响,增强图像的细节,可以采用建立在频域内的 同态滤波器对光照不足的或有光照变化的图象进行处理,可以减少因光照不足引起的图像质量下降,并对感兴趣的景物进行有效增强,这样就在很大程度保留图像原貌的同时对图像细节增强。同态滤波是一种在频域中进行的图像对比度增强和压缩图像亮度范围的特殊滤波方法。同态滤波能够减少低频并增加高频,从而能减少光照变化并锐化边缘或细节。
图像的同态滤波是基于以入射光和反射光为基础的图像模型上的,如果把图像函数f(x,y)表示为光照函数(入射光)i(x,y)和反射函数r(x,y)这两个分量的乘积,那么图像的模型可以表示为
f(x,y)?i(x,y)?r(x,y)
0?i(x,y)??,0?r(x,y)?1
(4.1)
其中r(x,y)的性质取决于成像物体的表面特性。
通过对光照分量和反射分量的研究可知,光照分量一般反映灰度的恒定分量,类似于频域中的低频信息。减弱光照函数(入射光)就可以起到缩小图像灰度范围的作用；而反射光与物体的边界特性是密切相关的,类似于频域中的高频信息。增强反射光就可以起到提高图像对比度的作用。因此,同态滤波的传递函数一般在低频部分小于1,在高频部分大于1。
进行同态滤波,首先要对原图像取对数,使图像模型中的乘法运算转化为简单的加法运算:
z(x,y)?lnf(x,y)?lni(x,y)?lnr(x,y) (4.2) 再对函数做傅里叶变换，将函数转换到频域
Z(u,v)?I(u,v)?R(u,v)
(4.3)
选择合适的传递函数,压缩i(x,y)分量的变化范围,削弱I(u,v),增强r(x,y)分量的对比度,提升R(u,v),增强细节，即确定一个合适的H(u,v)。由以上分析可知H(u,v)的大致形状如图4.2所示。其中rh代表高频增益,rl代表低频增益,D(u,v)?((u?u0)?(v?v0))表示点(u,v)到滤波中心(u0,v0)的距离。
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同态滤波传递函数图像如图4.2所示：
图4.2 同态滤波传递函数
利用H(u,v)对(4.3)式进行滤波,可得
S(u,v)?H(u,v)?Z(u,v)
?H(u,v)?I(u,v)?H(u,v)?R(u,v)
(4.4)
最后对滤波结果进行傅立叶反变换和指数运算,得到同态滤波后的输出结果：
?i'(x,y)?F?1?H(u,v)?I(u,v)???1?r'(x,y)?F?H(u,v)?R(u,v)? (4.5)
?i0(x,y)?expi'(x,y)?'?r0(x,y)?expr(x,y)?g(x,y)?i(x,y)?r(x,y)00?
???? (4.6)
同态滤波过程的完整框图如图4.3所示：
f(x,y)logFFTh(u,v)g(x,y)ExpIFFT 图4.3 同态滤波算法流程图
4.3 同态滤波传递函数的确定
从同态的实现过程可以看出,能否达到理想的增强效果并取得压缩灰度的动态范围效果取决于同态滤波传递函数的选择。从图4.1可知,同态滤波的传递函数与传统的巴特沃思高通滤波器十分相似,巴特沃思高通滤波的传递函数为式(4.7)：
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